טופולוגיה קבוצתית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

טופולוגיה קבוצתית היא ענף בטופולוגיה העוסק בהגדרות הבסיסיות בטופולוגיה באמצעות תורת הקבוצות. היא מהווה הבסיס שעליו נבנים יתר תחומי הטופולוגיה, כמו טופולוגיה אלגברית, טופולוגיה גאומטרית וטופולוגיה דיפרנציאלית.

המבנה הבסיסי הנחקר במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית הוא מרחב טופולוגי. זוהי קבוצה (שאיבריה קרויים "נקודות") שמוגדרת עליה "טופולוגיה" - אוסף של תת-קבוצות המקיימות אקסיומות מסוימות וקרויות קבוצות פתוחות. הקבוצות הפתוחות מאפשרות להתייחס באופן פורמלי ל"סביבה" של נקודה במרחב.

ההגדרה של מבנה טופולוגי מקורה בחקר התכונות של מרחבים מטריים (קבוצות בהן יש מושג של "מרחק") ובפרט המרחב האוקלידי המוכר. הדוגמה הבסיסית לסביבה של נקודה במרחב האוקלידי היא כדור סביב הנקודה.

אחד מהיתרונות של הטופולוגיה הקבוצתית הוא בכך שהיא מאפשרת לבחון תוצאות בסיסיות בחשבון אינפיניטסימלי, להכליל אותן, ולהשיל מעליהן הנחות מיותרות (הנובעות מהמבנה העשיר של הקבוצה בה עוסקים: שדה המספרים הממשיים שהוא שדה סדור שלם). כך למשל, תכונת הרציפות של פונקציות ממשיות ניתנת להכללה לכל מרחב טופולוגי (ראו רציפות (טופולוגיה)). משפט ויירשטראס הראשון המוכר מחשבון אינפיניטסימלי קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור היא חסומה. זהו מקרה פרטי של משפט כללי הרבה יותר בטופולוגיה קבוצתית: תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]