טטרציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

גרף הפונקציה

במתמטיקה, טֶטְרָצְיָהאנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון או כאשר הוא הבסיס ו- הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-־ית של היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:
    

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

מבוא[עריכת קוד מקור | עריכה]

ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה (אנ'), המוגדרת כ- נחשבת להיפר-פעולה האפס.

  1. חיבור:
  2. כפל:
  3. חזקה:
  4. טטרציה:

יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, משמעותו ולא .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות ו אינן נכונות ברוב המקרים.[1]
  • בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
  • בדומה לחזקה, מתקיים כי ו
  • מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה:
  • ממהגדרה למעלה נובע כי: מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

הכללת הבסיס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס אפס[עריכת קוד מקור | עריכה]

החזקה אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול מוגדר וקיים:[2]

ולכן, ניתן להגדיר כי

בסיס מרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה .

לדוגמה, עבור כאשר , ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי:

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את באמצעות :

הכללת הגובה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גובה אינסופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכי הגבול , שמתכנס רק עבור

ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול . זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי מתכנס עבור .

גובה שלילי שלם[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

ניתן למצוא את :

אם במקום k נציב -1 נקבל:

ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:

וזהו מספר שאינו מוגדר.

פעולות הופכיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות.

סופר-שורש[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם אז הוא הסופר-שורש ה-־י של , והוא יסומן בצורה

לדוגמה, אם אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ().

סופר-שורש ריבועי[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף הפונקציה

הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה , או בפשטות .

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה , וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'):[3]

סופר-לוגריתם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם אז הוא הסופר-לוגריתם מבסיס של , והוא יסומן בצורה . פונקציה זו מוגדרת עבור כל .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לכל ממשי מתקיים

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא טטרציה בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014
  2. ^ George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015
  3. ^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996