טריגונומטריה ספירית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Spherical triangle with notations1.png

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

  • הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומונו בהמשך באותיות A,B,C או \alpha , \beta , \gamma \,).
  • הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות a' , b' , c' \,).
(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \, ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Sftriangle.png

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם \ a ו-\ b, ואורך היתר הוא \ c, אז \ a^2+b^2=c^2. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:  \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right) .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה \cos {\alpha} \, לטור מקלורן: \cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: \left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right ) .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^2 \,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin את משפט פיתגורס בגירסתו האוקלידית: a^2+b^2=c^2 \,.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: B(R,0,0) \, , C(R \cos (a'),R \sin (a'),0) \, , A(R cos (a') \cos (b') ,R \sin (a') \cos (b'),R \sin (b')) \,.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: \cos (c')= \frac {OA \cdot OB} {\| OA \| \| OB \|}=\cos (a') \cos (b').

הצבת השוויונות: a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \, במשוואה האחרונה מניבה את המשפט:  \cos \left(\tfrac{c}{R}\right)=\cos \left(\tfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\tfrac{b}{R}\right) .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה \gamma = 90^0.

משפט הסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta, \gamma בהתאמה, מתקיים: {a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: \frac{\sin \tfrac a R}{\sin \alpha}=\frac{\sin \tfrac b R}{\sin \beta}=\frac{\sin \tfrac c R}{\sin \gamma} .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה  \sin{\alpha} \, לטור מקלורן: \sin \alpha =\alpha+ ...\,.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin  : \frac{\tfrac a R +...}{\sin \alpha}=\frac{\tfrac b R +...}{\sin \beta}=\frac{\tfrac c R +...}{\sin \gamma}.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי AF \perp OC , AE \perp OB וגם \angle {AED}=\beta , \angle {AFC}=\gamma .

במשולש AED מתקיים: \sin {\beta}=\tfrac {AD} {AE} ובמשולש AFD מתקיים: \sin {\gamma}=\tfrac {AD} {AF} ולכן \frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {AF} {AE}.

במשולש AOE מתקיים: \sin {c'}=\tfrac {AE} R ובמשולש AOF מתקיים: \sin {b'}=\tfrac {AF} R .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: \frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {b'}} {\sin {c'}}, כלומר:\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {\frac b R}} {\sin {\frac c R}}.

משפט הקוסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן \ a, b, c והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta, \gamma בהתאמה, מתקיים: \ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: \, \cos \frac c R = \cos \frac a R \cdot \cos \frac b R + \sin \frac a R \cdot \sin \frac b R \cdot \cos \gamma.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: \, \cos \gamma = - \cos \alpha \cdot \cos \beta  + \sin \alpha \cdot \sin \beta  \cdot \cos \frac c R).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות \cos{\alpha} , \sin{\alpha} \, לטור מקלורן: \cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ... , \sin \alpha =\alpha+ ...\,.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: \left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right )+\left (\frac {a \cdot b} {R^2} \cdot \cos {\gamma} + ...\right ) .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R^2 \,, מקבלים כאשר רדיוס הכדור \,R \to \infin את משפט הקוסינוסים בגירסתו האוקלידית: \ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma.

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכפלת סינוס וקוסינוס \, \sin a' \cdot \cos \beta   = \cos b' \cdot \sin c' - \sin b' \cdot \cos c' \cdot \cos \alpha
מכפלת סינוס וקוטנגנס \, \sin \alpha \cdot \cot \beta  = \cot b' \cdot \sin c' - \cos c' \cdot \cos \alpha
משפט הטנגסים  \frac{\tan{\frac{ a' +  b' }{2}}}{\tan{\frac{ a' -  b' }{2}}} =
        \frac{\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}}}{\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}}}
נוסחאות נפייר \tan{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}}

\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}} \cdot \cos{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \cos{\frac{a'-b'}{2}}

\tan{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}}

\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \sin{\frac{a'-b'}{2}}

נוסחאות דלמבר \sin{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\gamma}{2}} = \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}

\sin{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\gamma}{2}} = \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}

חצי זווית (סימון: s = \frac{a'+b'+c'}{2}). \sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin b' \cdot \sin c'}}

\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s) \cdot \sin(s-a')}{\sin b' \cdot \sin c'}}

\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin s \cdot \sin (s-a')}}

חצי צלע (סימון: \sigma = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2} ). \sin{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)}{\sin\beta  \cdot \sin\gamma}}

\cos{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)} {\sin\beta  \cdot \sin\gamma}}

\tan{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)} {\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)}   }

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]