טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

• הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומונו בהמשך באותיות A,B,C או $\alpha ,\beta ,\gamma \,$).
• הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות $a',b',c'\,$).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : $a'={\tfrac aR},b'={\tfrac bR},c'={\tfrac cR}\,$ ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם $\ a$ ו-$\ b$, ואורך היתר הוא $\ c$, אז $\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: $\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה $\cos {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}2}+...$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: $\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)$.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^{2}\,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$ את משפט פיתגורס בגירסתו האוקלידית: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: $B(R,0,0)\,$ , $C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,$ , $A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,$.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: $\cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b')$.

הצבת השוויונות: $a'={\tfrac aR},b'={\tfrac bR},c'={\tfrac cR}\,$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: $\cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right)$.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה $\gamma =90^{0}$.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a,b,c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ בהתאמה, מתקיים: ${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: ${\frac {\sin {\tfrac aR}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac bR}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac cR}}{\sin \gamma }}$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה $\sin {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\sin \alpha =\alpha +...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$  : ${\frac {{\tfrac aR}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac bR}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac cR}+...}{\sin \gamma }}$.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי $AF\perp OC$ , $AE\perp OB$ וגם $\angle {AED}=\beta$ , $\angle {AFC}=\gamma$.

במשולש AED מתקיים: $\sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}}$ ובמשולש AFD מתקיים: $\sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}$ ולכן ${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}$.

במשולש AOE מתקיים: $\sin {c'}={\tfrac {AE}R}$ ובמשולש AOF מתקיים: $\sin {b'}={\tfrac {AF}R}$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: ${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}}$, כלומר:${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {{\frac bR}}}{\sin {{\frac cR}}}}$.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a,b,c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ בהתאמה, מתקיים: $\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: $\,\cos {\frac cR}=\cos {\frac aR}\cdot \cos {\frac bR}+\sin {\frac aR}\cdot \sin {\frac bR}\cdot \cos \gamma$.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: $\,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac cR}$).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות $\cos {\alpha },\sin {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}2}+...$ , $\sin \alpha =\alpha +...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: $\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right)$.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^{2}\,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$ את משפט הקוסינוסים בגירסתו האוקלידית: $\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$.

זהויות

מכפלת סינוס וקוסינוס	$\,\sin a'\cdot \cos \beta =\cos b'\cdot \sin c'-\sin b'\cdot \cos c'\cdot \cos \alpha$
מכפלת סינוס וקוטנגנס	$\,\sin \alpha \cdot \cot \beta =\cot b'\cdot \sin c'-\cos c'\cdot \cos \alpha$
משפט הטנגסים	${\frac {\tan {{\frac {a'+b'}{2}}}}{\tan {{\frac {a'-b'}{2}}}}}={\frac {\tan {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}{\tan {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$
נוסחאות נפייר	$\tan {{\frac {a'+b'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}=\tan {{\frac {c'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ $\tan {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}\cdot \cos {{\frac {a'+b'}{2}}}=\cot {{\frac {\gamma }{2}}}\cdot \cos {{\frac {a'-b'}{2}}}$ $\tan {{\frac {a'-b'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\alpha +\beta }{2}}}=\tan {{\frac {c'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ $\tan {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {a'+b'}{2}}}=\cot {{\frac {\gamma }{2}}}\cdot \sin {{\frac {a'-b'}{2}}}$
נוסחאות דלמבר	$\sin {{\frac {a'+b'}{2}}}\cdot \sin {{\frac {\gamma }{2}}}=\cos {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {c'}{2}}}$ $\sin {{\frac {a'-b'}{2}}}\cdot \cos {{\frac {\gamma }{2}}}=\sin {{\frac {\alpha -\beta }{2}}}\cdot \sin {{\frac {c'}{2}}}$
חצי זווית (סימון: $s={\frac {a'+b'+c'}{2}}$).	$\sin {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}$ $\cos {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s)\cdot \sin(s-a')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}}$ $\tan {{\frac {\alpha }{2}}}={\sqrt {{\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin s\cdot \sin(s-a')}}}}$
חצי צלע (סימון: $\sigma ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$ ).	$\sin {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}$ $\cos {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}}$ $\tan {{\frac {a'}{2}}}={\sqrt {{\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}}}}$

קישורים חיצוניים

• טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)