טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית.
הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:
- הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או
).
- הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות
).
- (הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי :
).
ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:
משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם
ו-
, ואורך היתר הוא
, אז
.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
.
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה
לטור מקלורן:
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:
.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם
, מקבלים כאשר רדיוס הכדור
את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית:
.
הוכחת המשפט:
את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:
הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.
במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:
,
,
.
את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:
.
הצבת השוויונות:
במשוואה האחרונה מניבה את המשפט:
.
הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה
.
משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן
והזוויות שמולן הן
בהתאמה, מתקיים:
.
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא:
.
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה
לטור מקלורן:
.
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור
:
.
לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:
.
הוכחת המשפט:
האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.
האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.
אזי
,
וגם
,
.
במשולש AED מתקיים:
ובמשולש AFD מתקיים:
ולכן
.
במשולש AOE מתקיים:
ובמשולש AOF מתקיים:
.
לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:
,
כלומר:
.
משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן
והזוויות שמולן הן
בהתאמה, מתקיים:
בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:
.
(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי:
).
כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות
לטור מקלורן:
,
.
כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:
.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם
, מקבלים כאשר רדיוס הכדור
את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית:
.
ישנם דתות המצוות על מאמיניהם להתפלל כל תפילה כשהגוף מופנה לנקודה מסוימת על פני כדור הארץ (למשל ביהדות - לכיוון ירושלים, ובאסלאם - לכיוון מכה) - בשביל לעשות זאת על המתפלל לדעת את מיקומו על פני כדור הארץ (קו אורך וקו רוחב), ואז באמצעות טריגונומטריה ספירית, לחשב את כיוון התפילה הרצוי.