טריגונומטריה ספירית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Spherical triangle with notations1.png

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

  • הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומונו בהמשך באותיות A,B,C או ).
  • הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות ).
(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Sftriangle.png

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ו-, ואורך היתר הוא , אז . בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה לטור מקלורן:
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם , מקבלים כאשר רדיוס הכדור את משפט פיתגורס בגירסתו האוקלידית: .

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: , , .

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: .

הצבת השוויונות: במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה .

משפט הסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן והזוויות שמולן הן בהתאמה, מתקיים: .

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה לטור מקלורן: .

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור  : .

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי , וגם , .

במשולש AED מתקיים: ובמשולש AFD מתקיים: ולכן .

במשולש AOE מתקיים: ובמשולש AOF מתקיים: .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: , כלומר:.

משפט הקוסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן והזוויות שמולן הן בהתאמה, מתקיים:

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: .

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: ).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות לטור מקלורן: , .

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם , מקבלים כאשר רדיוס הכדור את משפט הקוסינוסים בגירסתו האוקלידית: .

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכפלת סינוס וקוסינוס
מכפלת סינוס וקוטנגנס
משפט הטנגסים
נוסחאות נפייר

נוסחאות דלמבר

חצי זווית (סימון: ).

חצי צלע (סימון: ).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]