טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

• הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או $\alpha ,\beta ,\gamma \,$).
• הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות $a',b',c'\,$).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : $a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,$ ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם $\ a$ ו-$\ b$, ואורך היתר הוא $\ c$, אז $\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: $\cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה $\cos {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: $\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)$.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^{2}\,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$ את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: $B(R,0,0)\,$ , $C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,$, $A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,$.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: $\cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b')$.

הצבת השוויונות: $a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: $\cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right)$.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה $\gamma =90^{0}$.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a,b,c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ בהתאמה, מתקיים: ${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: ${\frac {\sin {\tfrac {a}{R}}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac {b}{R}}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac {c}{R}}}{\sin \gamma }}$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה $\sin {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\sin \alpha =\alpha +...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$  : ${\frac {{\tfrac {a}{R}}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac {b}{R}}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac {c}{R}}+...}{\sin \gamma }}$.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי $AF\perp OC$, $AE\perp OB$ וגם $\angle {AED}=\beta$, $\angle {AFC}=\gamma$.

במשולש AED מתקיים: $\sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}}$ ובמשולש AFD מתקיים: $\sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}$ ולכן ${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}$.

במשולש AOE מתקיים: $\sin {c'}={\tfrac {AE}{R}}$ ובמשולש AOF מתקיים: $\sin {b'}={\tfrac {AF}{R}}$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: ${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}}$, כלומר:${\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {\frac {b}{R}}}{\sin {\frac {c}{R}}}}$.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a,b,c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha ,\beta ,\gamma$ בהתאמה, מתקיים: $\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: $\,\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma$.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: $\,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac {c}{R}}$).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות $\cos {\alpha },\sin {\alpha }\,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...$, $\sin \alpha =\alpha +...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: $\left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right)$.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^{2}\,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R\to \infty$ את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: $\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$.

זהויות

מכפלת סינוס וקוסינוס	$\,\sin a'\cdot \cos \beta =\cos b'\cdot \sin c'-\sin b'\cdot \cos c'\cdot \cos \alpha$
מכפלת סינוס וקוטנגנס	$\,\sin \alpha \cdot \cot \beta =\cot b'\cdot \sin c'-\cos c'\cdot \cos \alpha$
משפט הטנגסים	${\frac {\tan {\frac {a'+b'}{2}}}{\tan {\frac {a'-b'}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$
נוסחאות נפייר	$\tan {\frac {a'+b'}{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\tan {\frac {c'}{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$ $\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {a'+b'}{2}}=\cot {\frac {\gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {a'-b'}{2}}$ $\tan {\frac {a'-b'}{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\tan {\frac {c'}{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$ $\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {a'+b'}{2}}=\cot {\frac {\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {a'-b'}{2}}$
נוסחאות דלאמבר	$\sin {\frac {a'+b'}{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {c'}{2}}$ $\sin {\frac {a'-b'}{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}=\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {c'}{2}}$
חצי זווית (סימון: $s={\frac {a'+b'+c'}{2}}$).	$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}$ $\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s)\cdot \sin(s-a')}{\sin b'\cdot \sin c'}}}$ $\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b')\cdot \sin(s-c')}{\sin s\cdot \sin(s-a')}}}$
חצי צלע (סימון: $\sigma ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$ ).	$\sin {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}$ $\cos {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}{\sin \beta \cdot \sin \gamma }}}$ $\tan {\frac {a'}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos \sigma \cdot \cos(\sigma -\alpha )}{\cos(\sigma -\beta )\cdot \cos(\sigma -\gamma )}}}$

שימושים בתרבות

ישנן דתות המצוות על מאמיניהם להתפלל כל תפילה כשהגוף מופנה לנקודה מסוימת על פני כדור הארץ (למשל ביהדות - לכיוון ירושלים, ובאסלאם - לכיוון מכה) - בשביל לעשות זאת על המתפלל לדעת את מיקומו על פני כדור הארץ (קו אורך וקו רוחב), ואז באמצעות טריגונומטריה ספירית, לחשב את כיוון התפילה הרצוי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא טריגונומטריה ספירית בוויקישיתוף

• טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)