יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין (1926-2014).

הגדרה

תהי $T$ חבורה למחצה, ויהי $S$ המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-$T$. יחסי גרין הם ארבעה יחסי שקילות המוגדרים על $T$:

• $aFb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר $SaS=SbS$.
• $aLb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר $Sa=Sb$.
• $aRb$ אם $a,b$ יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר $aS=bS$.
• $aHb$ אם $aLb$ וגם $aRb$.

תכונות עיקריות

נאמר "מחלקת-$F$" במקום "מחלקת שקילות לפי $F$", וכדומה. היחס $H$ הוא העדין ביותר: כל מחלקת-$F$ היא איחוד של מחלקות-$L$ ואיחוד של מחלקות-$R$, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-$H$. אם $S$ סופית, אז $F=L\circ R=R\circ L$. תכונות אלו מציעות פירוק של כל מחלקת-$F$ ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-$R$, באותה עמודה אם הם שקולים-$L$, ובאותה תיבה אם הם שקולים-$H$. בין מחלקות-$F$ מוגדר יחס סדר ($[a]<[b]$ אם $SaS$ מוכל ב-$SbS$).

איבר $a$ הוא רגולרי אם קיים $b$ כך ש-$aba=a$ ו-$bab=b$; במקרה זה $b$ הוא הפכי של $a$. אם מחלקת-$F$ מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של $S$ הן מחלקות-$H$ הכוללות אידמפוטנט. אם המחלקות של שתי תת-חבורות מקסימליות שקולות-$F$, אז הן איזומורפיות; מחלקת-$F$ המכילה תת-חבורה מקסימלית היא רגולרית. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של $T$, לבין הזוגות $(J,f)$ כאשר $J$ מחלקת-$F$ רגולרית ו-$f$ הצגה אי-פריקה של חבורה המוכלת בה.