יחסי גרין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין (אנ') (1926-2014).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי T חבורה למחצה, ויהי S המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-T. יחסי גרין הם ארבעה יחסי שקילות המוגדרים על T:

  • aFb אם a,b יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר SaS=SbS.
  • aLb אם a,b יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר Sa=Sb.
  • aRb אם a,b יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר aS=bS.
  • aHb אם aLb וגם aRb.

תכונות עיקריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאמר "מחלקת-F" במקום "מחלקת שקילות לפי F", וכדומה. היחס H הוא העדין ביותר: כל מחלקת-F היא איחוד של מחלקות-L ואיחוד של מחלקות-R, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-H. אם S סופית, אז . תכונות אלו מציעות פירוק של כל מחלקת-F ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-R, באותה עמודה אם הם שקולים-L, ובאותה תיבה אם הם שקולים-H. בין מחלקות-F מוגדר יחס סדר ([a]<[b] אם SaS מוכל ב-SbS).

איבר a הוא רגולרי אם קיים b כך ש-aba=a ו-bab=b; במקרה זה b הוא הפכי של a. אם מחלקת-F מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של S הן מחלקות-H הכוללות אידמפוטנט. אם המחלקות של שתי תת-חבורות מקסימליות שקולות-F, אז הן איזומורפיות; מחלקת-F המכילה תת-חבורה מקסימלית היא רגולרית. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של T, לבין הזוגות (J,f) כאשר J מחלקת-F רגולרית ו-f הצגה אי-פריקה של חבורה המוכלת בה.