יחס הופכי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי על קבוצה , הוא היחס המסומן ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס על הוא היחס .

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה: .
  • אי-רפלקסיביות.
הוכחה: מההגדרה נובע כי , ולכן .
  • סימטריה. בפרט אם סימטרי, אז .
הוכחה: .
הוכחה: ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: ולכן אם א-סימטרי אז א-סימטרי.
הוכחה: .

תכונות נוספות של היחס ההופכי[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב- אז ב-" ל"ב- אם ורק אם ב-".
הוכחה: לכל מתקיים
  • הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: .
הוכחה: לכל מתקיים ולכן .
  • ההופכי מתפלג מעל החיתוך: .
הוכחה: לכל מתקיים .
  • ההופכי מתפלג מעל האיחוד: .
הוכחה: לכל מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})^{-1}y\iff y(\mathcal{R}\cup\mathcal{T})x\iff y\mathcal{R}x\or y\mathcal{T}x\iff x\mathcal{R}^{-1}y\or x\mathcal{T}^{-1}y\iff x(\mathcal{R}^{-1}\cup\mathcal{T}^{-1})y} .
  • ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: .
הוכחה: לכל מתקיים .
  • מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]