ישרים מקבילים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
זוג ישרים מקבילים, a ו-b, נחתכים על ידי ישר שלישי, t

ישרים מקבילים הם ישרים הנמצאים באותו מישור ואינם נחתכים (נפגשים).

אקסיומת המקבילים שהיא אחת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית, קובעת כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון". גאומטריות לא אוקלידיות מחליפות אקסיומה זו באקסיומות אחרות:

  • בגאומטריה ההיפרבולית מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה". מכך נובע כי דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה.
  • בגאומטריה הספירית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, מוחלפת אקסיומת המקבילים באקסיומה: "דרך נקודה מחוץ לישר לא ניתן להעביר ישר מקביל לישר הנתון".

תכונות של ישרים מקבילים בגאומטריה האוקלידית[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל הנקודות על ישר נתון נמצאות באותו מרחק מהישר המקביל לו.
  • כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, נוצרות זוויות מתאימות אשר שוות זו לזו (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באות ונמצאות בצדו האחד של הישר החותך)

כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, הזוויות הסמוכות שנוצרות משלימות זו את זו ל-180 מעלות (בציור שלפנינו: הזוויות המסומנות באותיות ו-).

מצולעים אחדים מתאפיינים בקיומן של צלעות מקבילות:

  • במקבילית יש שני זוגות של צלעות מקבילות. מלבן, מעוין וריבוע הם מקרים פרטיים של מקבילית, ולכן גם בכל אחד מהם יש שני זוגות של צלעות מקבילות.
  • בטרפז יש זוג אחד של צלעות מקבילות.
  • במצולע משוכלל שמספר צלעותיו זוגי, כל צלע מקבילה לצלע הנגדית.

יחס טרנזטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישרים מקבילים מקיימים יחס טרנזיטיבי כלומר אם ישר a מקביל לישר b וישר b מקביל לישר c, אז ישר a מקביל לישר c.

זוויות בין שני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוויות חד-צדדיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוויות חד-צדדיות הן שתי זוויות שנכלאות על ידי ישרים מקבילים וישר החותך אותם כאשר שתי הזוויות מאותו צד של הישר החותך, אך מצדדים שונים של המקבילים. סכום זוויות חד-צדדיות הוא 180 מעלות (ברדיאנים ).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה נובעת מהאקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים. על פי האקסיומה, כל שני ישרים שהזוויות הנכלאות מצד אחד שלהן קטנות מסכום שתי זוויות ישרות (180 מעלות), אם יוארכו מספיק בצד זה, יפגשו לבסוף, כלומר הם אינם מקבילים.

מהאקסיומה נובע כי אם ורק אם סכום הזויות האלו היה 180 מעלות, הם היו מקבילות (אם הן יותר מ-180, בצד השני הן פחות מ-180 ולכן רק אם הן 180 בדיוק).

מכך ניתן להוכיח כי כל שני ישרים מקבילים כולאים ביניהם זוויות של 180 מעלות, אחרת הם אינם מקבילים.

שימוש[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוויות חד-צדדיות משמשות להגדרה של זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות (ראו להלן), זוויות שוק בטרפז שווה-שוקיים, ועוד.

זוויות מתאימות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח כי באמצעות יחס השלמה ל- עם .

זוויות מתאימות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי, כאשר שניהם מאותו צד של החותך ושל המקבילים.

זוויות מתאימות שוות זו לזו.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בציור משמאל.

(זוויות צמודות)

(זוויות חד-צדדיות)

(חישוב)

(חישוב)

מש"ל.

זוויות מתחלפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח כי באמצעות היחסים ביניהם ל.

זוויות מתחלפות הן שתי זוויות הנוצרות משני ישרים מקבילים הנחתכים על ידי ישר שלישי, וכל אחת מהן נמצאת בצד אחר של הישר החותך ובצד אחר של המקבילים מהשנייה (ראה בציור זוויות ).

זוויות מתחלפות שוות זו לזו.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בזוויות בציור.

(זוויות חד-צדדיות)

(זוויות צמודות)

(חישוב)

(חישוב)

מש"ל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]