באנליזה מרוכבת , למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית ממעגל היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות . הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות .
את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ . הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט המיפוי של רימן .
יהי
D
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
<
1
}
{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}
עיגול היחידה ללא השפה.
תהי
f
:
D
→
D
¯
{\displaystyle f:D\rightarrow {\overline {D}}}
פונקציה אנליטית , כך ש-
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
∀
z
∈
D
:
|
f
(
z
)
|
≤
|
z
|
{\displaystyle \forall z\in D:|f(z)|\leq |z|}
|
f
′
(
0
)
|
≤
1
{\displaystyle |f'(0)|\leq 1}
אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
c
∈
C
,
|
c
|
=
1
{\displaystyle c\in \mathbb {C} ,|c|=1}
∀
z
∈
D
:
f
(
z
)
=
c
z
{\displaystyle \forall z\in D:f(z)=cz}
נגדיר פונקציית עזר:
g
(
z
)
=
{
f
(
z
)
z
z
≠
0
f
′
(
0
)
z
=
0
{\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\quad z\neq 0\\f'(0)\quad \quad z=0\end{cases}}}
אז
g
{\displaystyle g}
אנליטית על
D
{\displaystyle D}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
|
z
|
≤
1
−
ε
{\displaystyle |z|\leq 1-\varepsilon }
עקרון המקסימום :
|
g
(
z
)
|
≤
max
|
z
|
=
1
−
ε
|
g
(
z
)
|
=
max
|
z
|
=
1
−
ε
|
f
(
z
)
z
|
≤
1
1
−
ε
{\displaystyle |g(z)|\leq \max _{|z|=1-\varepsilon }{|g(z)|}=\max _{|z|=1-\varepsilon }{\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|}\leq {\frac {1}{1-\varepsilon }}}
אם משאיפים
ε
→
0
{\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}
∀
z
∈
D
:
|
g
(
z
)
|
≤
1
{\displaystyle \forall z\in D:|g(z)|\leq 1}
∀
z
∈
D
:
|
f
(
z
)
|
≤
|
z
|
{\displaystyle \forall z\in D:|f(z)|\leq |z|}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
g
{\displaystyle g}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
|
f
′
(
0
)
|
≤
1
{\displaystyle |f'(0)|\leq 1}
כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש-
g
(
z
)
=
1
{\displaystyle g(z)=1}
נקודה פנימית של
D
{\displaystyle D}
g
{\displaystyle g}
f
(
z
)
=
c
z
,
|
c
|
=
1
{\displaystyle f(z)=cz,|c|=1}
גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק ):
תהי
f
:
D
→
D
{\displaystyle f:D\rightarrow D}
z
1
,
z
2
∈
D
{\displaystyle z_{1},z_{2}\in D}
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
1
−
f
(
z
1
)
¯
f
(
z
2
)
|
≤
|
z
1
−
z
2
1
−
z
1
¯
z
2
|
{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}
ומתקיים אי שוויון שוורץ-פיק :
|
f
′
(
z
)
|
1
−
|
f
(
z
)
|
2
≤
1
1
−
|
z
|
2
.
{\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}
לכל
a
∈
D
{\displaystyle a\in D}
ϕ
a
(
z
)
=
z
−
a
1
−
a
¯
z
{\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}}
ϕ
:
D
→
D
{\displaystyle \phi :D\to D}
ϕ
−
a
{\displaystyle {\phi }_{-a}}
אם כן הטענה שצריך להוכיח היא
|
ϕ
f
(
z
2
)
(
f
(
z
1
)
)
|
≤
|
ϕ
z
2
(
z
1
)
|
{\displaystyle |{\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{1}))|\leq |{\phi }_{z_{2}}(z_{1})|}
z
1
→
ϕ
−
z
2
(
z
1
)
{\displaystyle z_{1}\rightarrow {\phi }_{-z_{2}}(z_{1})}
|
ϕ
f
(
z
2
)
(
f
(
ϕ
−
z
2
(
z
1
)
)
)
|
≤
|
z
1
|
{\displaystyle |{\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))|\leq |z_{1}|}
כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר
G
(
z
1
)
=
ϕ
f
(
z
2
)
(
f
(
ϕ
−
z
2
(
z
1
)
)
)
{\displaystyle G(z_{1})={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))}
G
:
D
→
D
{\displaystyle G:D\rightarrow D}
G
(
0
)
=
ϕ
f
(
z
2
)
(
f
(
ϕ
−
z
2
(
0
)
)
)
=
ϕ
f
(
z
2
)
(
f
(
z
2
)
)
)
=
0
{\displaystyle G(0)={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(0)))={\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{2})))=0}
כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
z
1
−
z
2
|
⋅
|
1
1
−
f
(
z
1
)
¯
f
(
z
2
)
|
≤
|
1
1
−
z
1
¯
z
2
|
{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {1}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}
z
1
→
z
2
{\displaystyle z_{1}\rightarrow z_{2}}
להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ.
כל פונקציה אנליטית
f
:
D
→
D
{\displaystyle f:D\rightarrow D}
נקודות שבת היא הזהות.
יהי
H
=
{
z
:
Im
z
>
0
}
{\displaystyle H=\{z:\operatorname {Im} z>0\}}
המישור המרוכב העליון. כל פונקציה
f
:
H
→
H
{\displaystyle f:H\rightarrow H}
∀
z
1
,
z
2
∈
H
:
|
f
(
z
1
)
−
f
(
z
2
)
f
(
z
1
)
¯
−
f
(
z
2
)
|
≤
|
z
1
−
z
2
|
|
z
1
¯
−
z
2
|
{\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in H:\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}}
S. Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford
משפטי יסוד באנליזה מרוכבת
מקרא
משפט באנליזה מרוכבת
משפט בחדו"א המשמש את האנליזה המרוכבת.[ 1]
שימוש באנליזה מרוכבת מחוצה לה.
גרירה : ההוכחה למשפט הנגרר מתבססת על המשפטים הגוררים.[ 2]
ניתן להביע
פונקציה הולומורפית
f
{\displaystyle f}
כמכפלה
z
n
g
{\displaystyle z^{n}g}
כאשר
n
{\displaystyle n}
טבעי ,
g
{\displaystyle g}
הולומורפית ו -
g
(
0
)
≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
.
ניתן להביע
פונקציה הולומורפית
f
{\displaystyle f}
כמכפלה
z
n
g
{\displaystyle z^{n}g}
כאשר
n
{\displaystyle n}
טבעי ,
g
{\displaystyle g}
הולומורפית ו -
g
(
0
)
≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
.
ניתן להביע
פונקציה מרומורפית
f
{\displaystyle f}
כמכפלה
z
n
g
{\displaystyle z^{n}g}
כאשר
n
{\displaystyle n}
שלם ,
g
{\displaystyle g}
הולומורפית ו -
g
(
0
)
≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
.
ניתן להביע
פונקציה מרומורפית
f
{\displaystyle f}
כמכפלה
z
n
g
{\displaystyle z^{n}g}
כאשר
n
{\displaystyle n}
שלם ,
g
{\displaystyle g}
הולומורפית ו -
g
(
0
)
≠
0
{\displaystyle g(0)\neq 0}
.
^ לעיתים יש צורך בגרסה מרוכבת של המשפט, אך הוכחתה אינה נבדלת באופן מהותי מההוכחה של הגרסה הממשית (הריגילה).
^ כמובן אפשריות הוכחות אחרות שמתבססות על טענות שונות.
