מאורע (הסתברות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, מאורע הוא מצב שניתן לייחס לו הסתברות.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מרחב הסתברות \ \left( \Omega , \mathbb{F} , P \right) תת קבוצה של מרחב המדגם \ E \subseteq \Omega המקיימת \ E \in \mathbb{F} נקראת מאורע. קבוצת כל המאורעות \ \mathbb{F} נקראת שדה המאורעות והיא סיגמא-אלגברה.

לפי אקסיומות ההסתברות לכל מאורע \ E מתקיים תמיד \ 0\le P(E)\le 1.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נבחן את המקרה של הטלת קובייה הוגנת. מרחב המדגם של הטלת קובייה הוא המרחב האחיד {1,2,3,4,5,6}. כל תת-קבוצה של קבוצה זו הוא מאורע. בעזרת העובדה שלכל תוצאה בהטלת קובייה יש סיכוי 1/6 לצאת ובזכות הסיגמא-אדיטיביות של פונקציית ההסתברות נוכל לחשב את ההסתברות לכל מאורע:

  • המאורע "תוצאת ההטלה היא 6" הוא הקבוצה {6} וההסתברות שלו היא 1/6.
  • המאורע "תוצאת ההטלה זוגית" הוא הקבוצה {2,4,6} וההסתברות שלו היא 1/2.
  • המאורע "תוצאת ההטלה היא 7" הוא הקבוצה הריקה (כי 7 אינו במרחב מדגם) וההסתברות שלו היא 0.
  • המאורע "תוצאת ההטלה היא מספר" הוא הקבוצה {1,2,3,4,5,6} שהיא מרחב המדגם כולו וההסתברות שלו היא 1.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מרחב המדגם הוא בדיד (דיסקרטי), כלומר הוא סופי או בן מנייה, מספיק להגדיר את ההסתברות לכל מאורע שהוא יחידון כדי להגדיר את ההסתברות של כל תת-קבוצה של מרחב המדגם. על כן במרחב שכזה שדה המאורעות הוא קבוצת החזקה של מרחב המדגם. לעומת זאת, במרחבים אחרים כגון הישר הממשי לא קיימת פונקציית מידה המוגדרת לכל תת-קבוצה של המרחב ולכן קיימות תת-קבוצות שלא ניתן לייחס להן הסתברות (שהיא פונקציית מידה) ולא כל תת-קבוצה היא מאורע.

לכל מאורע \ E קיים מאורע משלים \ \overline E שהוא קבוצת המשלים של המאורע ביחס למרחב המדגם. מהגדרת פונקציית ההסתברות נקבל כי \ P(\overline E) = 1-P(E).

זוג מאורעות A,B נקראים מאורעות בלתי תלויים אם מתקיים \ P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B). המשמעות היא שהתרחשות אחד איננה משפיעה על התרחשות השני. אם השוויון לא מתקיים המאורעות נקראים מאורעות תלויים.

בהינתן שני מאורעות A,B ניתן להגדיר את ההסתברות המותנית \ P(A\,|\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. הסתברות זו משקפת את הסיכוי שמאורע A ייתרחש בהינתן ש-B התרחש.