מבחן המנה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, מבחן המנה (נקרא גם מבחן המנה של ד'לאמבר או מבחן המנה של קושי) הוא מבחן התכנסות לטורים המאפשר לבחון אם טור אינסופי מתכנס או לא.

המבחן נוסח לראשונה על-ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר ומופיע בכרך החמישי של סדרת מאמריו Opuscules mathématiques.

סימונים

בערך זה נסמן ב-$\mathbb {N}$ את קבוצת המספרים הטבעיים.

הסימונים $\lim$,‏ $\limsup$ ו-$\liminf$ מתייחסים לגבול, הגבול העליון והגבול התחתון בהתאמה.

נוסח המשפט

גרסה חלשה

תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ויהי $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q$. אזי:

1. אם $q<1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.
2. אם $q>1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.
3. אם $q=1$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

גרסה חזקה

תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ויהי $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=Q$ ו-$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q$. אזי:

1. אם $Q<1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.
2. אם $q>1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.
3. אם $q\leq 1\leq Q$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

ניתן לראות שהגרסה החלשה של המבחן נובעת מהגרסה החזקה למקרה שבו $q=Q$.

הוכחה

מספיק להוכיח את הגרסה החזקה של המבחן כדי להוכיח את הגרסה החלשה. אין צורך להוכיח את אי-הכרעת המבחן למקרה שבו $q\leq 1\leq Q$ שכן ניתן להראות את אי-הכרעתו באמצעות דוגמאות נגדיות (ראו פרק דוגמאות).

הוכחת התכנסות לפי המבחן

מניחים כי $Q<1$. בוחרים $Q<l<1$ כלשהו. לפי תכונות הגבול העליון, קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ש-${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<l$. בגלל שהדבר נכון לכל $n>N$, אפשר להראות כי:

$a_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n-1}}{a_{n-2}}}\cdots {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot a_{N}<l^{n-N}a_{N}$

משמע כי:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N-1}a_{n}+\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}<\sum _{n=1}^{N-1}a_{n}+\sum _{n=N}^{\infty }a_{N}l^{n-N}=\sum _{n=1}^{N-1}a_{n}+{\frac {a_{N}}{1-l}}<\infty$

משמע שהטור מתכנס.

הוכחת התבדרות לפי המבחן

מניחים כי $q>1$. בוחרים $1<l<q$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול התחתון, קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ש-${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>l$. בגלל שהדבר נכון לכל $n>N$, אפשר להראות כי:

$a_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\cdot {\frac {a_{n-1}}{a_{n-2}}}\cdots {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\cdot a_{N}>l^{n-N}a_{N}$

מכאן נובע כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}\geq \lim _{n\to \infty }a_{N}l^{n-N}=\infty$. כלומר, הסדרה לא מקיימת את התנאי ההכרחי להתכנסות טור אינסופי, ולכן היא לא מתכנסת.

מ.ש.ל.

דוגמאות

התכנסות לפי המבחן

נתון הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}$. לפי מבחן המנה:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+1}{2^{n+1}}}{\frac {n}{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}{\frac {n+1}{n}}={\frac {1}{2}}<1$

לכן הטור בהכרח מתכנס. ניתן להראות כי:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}=2$

התבדרות לפי המבחן

נתון הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}$. לפי מבחן המנה:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {2^{n+1}}{n+1}}{\frac {2^{n}}{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{n+1}}=2$

לכן הטור בהכרח מתבדר

אי-הכרעת המבחן

יהי שתי סדרות $a_{n}:={\frac {1}{n}}$ ו-$b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$. יש לבחון האם הטורים $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ו-$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנסים. לפי מבחן המנה:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+1}}=1$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}=1$

עם זאת, הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ מתבדר (זהו הטור ההרמוני) והטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ מתכנס (הטור מבעיית בזל).

כלומר, כאשר הגבול של המנות הוא 1, המבחן חסר-הכרעה.

מבחן המנה לסדרות מרוכבות

ניתן לנסח גרסה דומה למבחן המנה לכל סדרה כללית, גם כזו שאיבריה שליליים או מרוכבים:

תהי סדרה של מספרים מרוכבים $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ שאינסוף מאיבריה אינם מתאפסים (אחרת הטור הוא טור סופי ובהכרח מתכנס).

ויהי $\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=Q$ ו-$\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=q$. אזי:

1. אם $Q<1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס בהחלט.
2. אם $q>1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.
3. אם $q\leq 1\leq Q$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

הוכחת המקרה הזה זהה להוכחת המקרה החיובי, עם שינויים קלים.

ראו גם

• מבחן השורש
• מבחן ראבה
• מבחן M של ויירשטראס

קישורים חיצוניים

• מבחן המנה, באתר MathWorld (באנגלית)