מבחן השורש

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, מבחן השורש (נקרא גם מבחן השורש של קושי) הוא מבחן התכנסות לטורים המאפשר לבחון האם טור אינסופי מתכנס או לא.

המבחן נוסח לראשונה על-ידי המתמטיקאי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1821.

סימונים

בערך זה נסמן ב-$\mathbb {N}$ וב-$\mathbb {C}$ את קבוצת המספרים הטבעיים והמרוכבים בהתאמה.

הסימונים $\lim$,‏ $\limsup$ ו-$\liminf$ מציינים את הגבול, הגבול העליון והגבול התחתון בהתאמה.

נוסח המשפט

תהיה סדרה $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ של מספרים ממשיים אי-שליליים ויהי $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=q$. אזי:

1. אם $q<1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.
2. אם $q>1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.
3. אם $q=1$ המבחן אינו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

הוכחה

יש להוכיח אך ורק את המקרה בו המבחן מצביע על התכנסות ועל המקרה בו הוא מצביע על התבדרות. את אי-הכרעתו במקרה שבו $q=1$ אפשר להראות באמצעות דוגמאות נגדיות (ראו פרק דוגמאות).

הוכחת התכנסות לפי המבחן

מניחים כי $q<1$. בוחרים $q<l<1$. לפי תכונות הגבול העליון קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים ש-${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<l$, כלומר $a_{n}<l^{n}$. אזי:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}<\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }l^{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+{\frac {l^{N+1}}{1-l}}<\infty$

לכן הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

הוכחת התבדרות לפי המבחן

לכל $n\in \mathbb {N}$ מסמנים $b_{n}:={\sqrt[{n}]{a_{n}}}$.

מניחים כי $q>1$. לפי תכונות הגבול העליון, קיימת תת-סדרה $\left\{b_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }$ כך ש-$b_{n_{k}}\to q$.

בוחרים $1<l<q$ כלשהו. לפי תכונות הגבול, קיים $K\in \mathbb {N}$ כך שלכל $k>K$ מתקיים ש-$b_{n_{k}}>l$. מכאן נובע כי ${\sqrt[{n_{k}}]{a_{n_{k}}}}>l$, כלומר $a_{n_{k}}>l^{n_{k}}$.

משמעות הדבר ש-$a_{n_{k}}>l^{n_{k}}\to \infty$, לכן יש ל-$a_{n}$ תת-סדרה ששואפת לאינסוף. הדבר עומד בסתירה לכך שלפי התנאי ההכרחי להתכנסות טור אינסופי $a_{n}\to 0$, ולכן גם כל תת-סדרה שלו שואפת ל-0.

לכן בהכרח הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.

מ.ש.ל.

דוגמאות

התכנסות לפי המבחן

נתון הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}$. לפי מבחן השורש:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n}{2^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n}}{2}}={\frac {1}{2}}$

לכן הטור בהכרח מתכנס. ניתן להראות כי:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}=2$

התבדרות לפי המבחן

נתון הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}$. לפי מבחן השורש:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {2^{n}}{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\sqrt[{n}]{n}}}=2$

לכן הטור בהכרח מתבדר.

אי-הכרעת המבחן

יהי שתי סדרות $a_{n}:={\frac {1}{n}}$ ו-$b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$. יש לבחון האם הטורים $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ו-$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנסים. לפי מבחן השורש:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}=1$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{\frac {2}{n}}}}=1$

עם זאת, הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ מתבדר (זהו הטור ההרמוני) והטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ מתכנס (הטור מבעיית בזל).

כלומר, כאשר הגבול של השורשים הוא 1, המבחן חסר-הכרעה.

קשר למבחן המנה

ערך מורחב – מבחן המנה

מבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה באופן קטגורי. בהינתן טור שאיבריו חיוביים $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, אפשר להראות כי:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

כלומר:

• אם מבחן המנה מצביע על התכנסות הטור, מבחן השורש מצביע על התכנסות הטור.
• אם מבחן המנה מצביע על התבדרות הטור, מבחן השורש מצביע על התבדרות הטור.

ההפך של שתי טענות אלו אינו בהכרח נכון (ראו דוגמאות למטה).

משמעות הדבר היא שמספיק לבצע את מבחן השורש כדי לקבוע האם הטור מתכנס או מתבדר לפי מבחן המנה. עם זאת, לעיתים מבחן המנה נוח יותר לחישוב ועל כן משתמשים בו.

דוגמאות

טור מתכנס לפי מבחן השורש וחסר הכרעה לפי מבחן המנה

נתונה הסדרה:

$a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\{\frac {1}{3^{n}}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}$

רוצים לבחון האם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

ניתן להראות כי $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=0$ ו-$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\infty$. כלומר, מבחן המנה חסר הכרעה.

עם זאת, $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}$, כלומר שמבחן השורש מצביע על התכנסות הטור.

טור מתבדר לפי מבחן השורש וחסר הכרעה לפי מבחן המנה

נתונה הסדרה:

$a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\2^{n}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}$

רוצים לבחון האם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

ניתן להראות כי $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=0$ ו-$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\infty$. כלומר, מבחן המנה חסר הכרעה.

עם זאת, $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=2$, כלומר שמבחן השורש מצביע על התבדרות הטור.

טורים מרוכבים

מבחן השורש לטורים מרוכבים

ניתן לנסח גרסה דומה למבחן השורש לכל סדרה כללית, גם כזו שאיבריה שליליים או מרוכבים:

תהי סדרה של מספרים מרוכבים $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ויהי $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=q$. אזי:

1. אם $q<1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס בהחלט.
2. אם $q>1$ הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.
3. אם $q=1$ המבחן אינו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

משפט קושי-אדמר

מסקנה מיידית של מבחן השורש לסדרות מרוכבות היא משפט קושי-אדמר:

יהי $a\in \mathbb {C}$ ו-$\left\{c_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מקדמים מרוכבים. מסתכלים על טור החזקות $\sum _{n=1}^{\infty }{c_{n}(z-a)^{n}}$ ומסמנים את רדיוס ההתכנסות שלו ב-$R$. כמו כן, מגדירים $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}=q$. אזי:

1. אם $0<q<\infty$ הרדיוס $R$ סופי ומקיים $R={\frac {1}{q}}$.
2. אם $q=0$ הרדיוס $R$ אינסופי, משמע שטור החזקות הוא פונקציה שלמה.
3. אם $q=\infty$ מתקיים ש-$R=0$. כלומר, הטור מתכנס רק עבור $z=a$ וערכו 0 בנקודה זו.

משפט זה נובע ישירות מהפעלת מבחן השורש על הסדרה $a_{n}=c_{n}(z-a)^{n}$ עבור $z$ כללי כלשהו.

ראו גם

• מבחן ראבה
• מבחן העיבוי
• מבחן M של ויירשטראס

קישורים חיצוניים

• מבחן השורש, באתר MathWorld (באנגלית)