מבחן M של ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K, וקיימת סדרה של קבועים , כך שהטור מתכנס ולכל n מתקיים לכל , אז טור הפונקציות , מתכנס במידה שווה על K.

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל קבוע הטור המספרי מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב ואת הסכום החלקי עד ב-

מתכנס אז לכל קיים כך ש לכל .

מתקיים:
לכל .
ולכן מתכנס במידה שווה לכל .


דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M.

  • הטור מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי , והטור ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
  • עבור הטור מבחן ה-M לא עוזר, שכן לכל x ממשי - , אבל לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן הM לא נכון.
  • כידוע, הטור מתכנס לכל . לפי מבחן ה-M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע , כי . עם זאת, לכל ניתן להשתמש במבחן ה-M - אז יתקיים לכל , והטור הממשי מתכנס.