מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באנליזה מתמטית , מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות .
אם
f
n
{\displaystyle \ f_{n}}
M
1
,
M
2
,
…
{\displaystyle \,M_{1},M_{2},\dots }
טור
∑
n
=
1
∞
M
n
{\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}
מתכנס ולכל n מתקיים
|
f
n
(
x
)
|
≤
M
n
{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}
x
∈
K
{\displaystyle \,x\in K}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}
מתכנס במידה שווה על K.
מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג , כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי .
לכל
x
∈
K
{\displaystyle \,x\in K}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
N
{\displaystyle N}
∑
n
=
1
N
f
n
(
x
)
=
S
N
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}f_{n}(x)=S_{N}(x)}
∑
n
=
1
∞
M
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
∑
n
=
n
0
∞
M
n
<
ε
{\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }M_{n}<\varepsilon }
n
0
≥
N
{\displaystyle n_{0}\geq N}
מתקיים:
|
S
n
0
(
x
)
−
S
(
x
)
|
=
|
∑
n
=
n
0
+
1
∞
f
n
(
x
)
|
≤
∑
n
=
n
0
∞
|
f
n
(
x
)
|
≤
∑
n
=
N
∞
M
n
<
ε
{\displaystyle |S_{n_{0}}(x)-S(x)|=\left|\sum _{n=n_{0}+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=n_{0}}^{\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\varepsilon }
n
0
≥
N
{\displaystyle n_{0}\geq N}
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}
מתכנס במידה שווה לכל
x
∈
K
{\displaystyle \,x\in K}
{\displaystyle }
להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M.
הטור
∑
n
=
1
∞
s
i
n
(
n
x
)
n
3
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}}
|
s
i
n
(
n
x
)
n
3
|
≤
1
n
3
{\displaystyle \left|{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}\right|\leq {\frac {1}{{n}^{3}}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
3
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{n}^{3}}}}
∑
n
=
1
∞
arctan
(
n
x
)
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\arctan {(nx)}}{{n}^{2}}}}
עבור הטור
∑
n
=
1
∞
s
i
n
(
n
x
)
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{n}}}
|
s
i
n
(
n
x
)
n
|
≤
1
n
{\displaystyle \left|{\frac {sin(nx)}{n}}\right|\leq {\frac {1}{n}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
כידוע, הטור
∑
n
=
0
∞
x
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{{x}^{n}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
|
x
n
|
<
1
{\displaystyle |{x}^{n}|<1}
0
<
r
<
1
{\displaystyle 0<r<1}
|
x
n
|
<
r
n
{\displaystyle |{x}^{n}|<{r}^{n}}
|
x
|
<
r
{\displaystyle |x|<r}
∑
n
=
0
∞
r
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{{r}^{n}}}
