מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם $\ f_{n}$ הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K, וקיימת סדרה של קבועים $\,M_{1},M_{2},\dots$, כך שהטור $\ \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ מתכנס ולכל n מתקיים $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ לכל $\,x\in K$, אז טור הפונקציות $\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$, מתכנס במידה שווה על K.

מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל $\,x\in K$ קבוע הטור המספרי $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב $S(x)$ ואת הסכום החלקי עד $N$ ב- $\sum _{n=1}^{N}f_{n}(x)=S_{N}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ מתכנס אז לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך ש $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }M_{n}<\varepsilon$ לכל $n_{0}\geq N$.

מתקיים:
$|S_{n_{0}}(x)-S(x)|=\left|\sum _{n=n_{0}+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=n_{0}}^{\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\varepsilon$ לכל $n_{0}\geq N$.
ולכן $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ מתכנס במידה שווה לכל $\,x\in K$. ${\displaystyle }$

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M.

• הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי $\left|{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}\right|\leq {\frac {1}{{n}^{3}}}$, והטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{n}^{3}}}$ ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\arctan {(nx)}}{{n}^{2}}}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.

• עבור הטור $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{n}}$ מבחן ה-M לא עוזר, שכן לכל x ממשי - $\left|{\frac {sin(nx)}{n}}\right|\leq {\frac {1}{n}}$, אבל $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן הM לא נכון.

• כידוע, הטור $\sum _{n=0}^{\infty }{{x}^{n}}$ מתכנס לכל $|x|<1$. לפי מבחן ה-M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע $(-1,1)$, כי $|{x}^{n}|<1$. עם זאת, לכל $0<r<1$ ניתן להשתמש במבחן ה-M - אז יתקיים $|{x}^{n}|<{r}^{n}$ לכל $|x|<r$, והטור הממשי $\sum _{n=0}^{\infty }{{r}^{n}}$ מתכנס.

קישורים חיצוניים

• מבחן M של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)