מודול ארטיני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, מודול ארטיני הוא מודול M המקיים את תנאי השרשרת היורדת (DCC) על תת-המודולים שלו, ביחס לסדר ההכלה. התכונה נקראת על שם אמיל ארטין.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדומה למודולים נותרים:

  • לכל תת-מודול K של מודול M, המודול M ארטיני אם ורק אם K ו- M/K ארטינים.

לפי משפט הופקינס-לויצקי, כל חוג ארטיני הוא גם נותרי. מכיוון שמודולים נוצרים סופית מעל חוג נותרי הם נותרים, אז עבוד חוג ארטיני R, כל מודול נוצר סופית מעל R הוא גם ארטיני וגם נותרי ולכן בעלי אורך סופי.

כל מודול ארטיני (או נותרי) אפשר לפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים (כאלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום ישר). אם המודול בעל אורך סופי, אז הפירוק יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).

השוואה לתנאי הנותריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשונה מחוגים, מודול ארטיני אינו בהכרח נותרי.

מעל חוג קומוטטיבי, כל מודול ארטיני ציקלי הוא גם נותרי, אבל מעל חוגים לא-קומוטטיביים, מודולים ארטיניים ציקליים יכולים להיות מאורך אינסופי (שרשרת הרכב אינסופית).

מודול הוא בעל אורך סופי (כלומר בעל סדרת הרכב סופית) אם ורק אם הוא ארטיני ונותרי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]