מודול פשוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג הוא מודול שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו- עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה ), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה כאשר אידיאל שמאלי של . המודול פשוט בדיוק כאשר אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-; לכן חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]