מודול פשוט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג R הוא מודול M שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-M עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.

אפיון[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה \ M=Rx), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה \ R/L כאשר \ L אידאל שמאלי של \ R. המודול R/L פשוט בדיוק כאשר L אידאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של R/L הוא האידאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-L; לכן R חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידאל שמאלי שאינו מכיל אף אידאל דו-צדדי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.

הלמה של שור[עריכת קוד מקור | עריכה]

הומומורפיזם של מודולים בעל תחום שהוא מודול פשוט הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא חד חד ערכי (כי הגרעין שלו תת-מודול). בדומה, אם הטווח של ההומומורפיזם פשוט אז הוא הומורפיזם האפס, או שהוא על (כי התמונה שלו תת-מודול). לכן הומומורפיזם בין מודולים פשוטים הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא איזומורפיזם.

ניסוח אחר של המשפט; חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כי כל אנדומורפיזם שונה מאפס הוא איזומורפיזם ולכן הפיך.

הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול \ \mathbb {Q} מעל \ \mathbb {Z} אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה \ \mathbb {Q}.