מודול פשוט למחצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט בתחום תורת המודולים, מודול פשוט למחצה הוא מודול המתפרק לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים. תכונה זו מאפשרת להחליף שאלות על המודול בשאלות דומות על תת-המודולים הפשוטים שלו, ולכן מודולים פשוטים למחצה הם אלו שעבורם תורת ההצגות, החוקרת את המודולים הפשוטים של חוג, היא הנגישה ביותר.

חוג שהוא פשוט למחצה כמודול מעל עצמו נקרא חוג פשוט למחצה. לפי משפט ארטין-ודרברן, החוגים הפשוטים למחצה הארטיניים הם המכפלות הישרות של חוגי מטריצות מעל חוגי חילוק.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודול M מעל חוג R הוא פשוט למחצה אם הוא שווה לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים שלו.

עבור מודול M התנאים הבאים שקולים:

  1. M הוא מודול פשוט למחצה.
  2. M הוא סכום של תת-מודולים פשוטים.
  3. M שווה לתשתית שלו.
  4. M הוא בעל משלימים: לכל תת-מודול N קיים משלים P (היינו M=N \oplus P).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפחת המודולים הפשוטים למחצה סגורה תחת מעבר לתת-חוגים ולחוגי מנה, ותחת סכום ישר.