מונה אי נשיג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, מונה אי-נשיג או מונה בלתי-נגיש הוא סוג של מונה גדול.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מונה לא בן-מנייה \kappa נקרא אי-נשיג חלש אם הוא מונה גבולי וסדיר (רגולרי).

מונה נקרא אי-נשיג חזק אם הוא גבולי חזק (כלומר לכל \lambda < \kappa מתקיים 2^{\lambda} < \kappa) וסדיר.

כיום, "אי נשיג" משמש כמילה נרדפת ל"אי נשיג חזק".

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1908, כחלק מהעבודה שלו על תכונות של מספרים מונים, הגדיר האוסדורף את מושג האי-נשיג החלש. המוטיבציה להגדרה הייתה שמונה כזה יהיה נקודת גבול של התהליך של לקיחת מונים עוקבים וגבולות של מונים (הוא יקיים למשל \kappa = \aleph_\kappa). האוסדורף לא ידע להוכיח שקיים מונה אי נשיג, אך טען כי אם אחד כזה קיים הוא יהיה גדול מדי ולא יוכל לשמש לשום מטרה טבעית בתורת הקבוצות. בעקבות העבודה של גדל על L ידוע היום כי לא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מונה אי נשיג, ויתר על כן, משפטי אי-השלמות של גדל מראים כי אם ZFC קונסיסטנטית לא ניתן להוכיח במסגרתה כי התורה של "ZFC + קיים מונה אי נשיג" היא קונסיסטנטית (ראו בהמשך).

בשנת 1930, שרפינסקי, טרסקי וצרמלו הגדירו את מושג האי-נשיג החזק והראו את הקשר העמוק בינו לבין ההיררכיה של פון-נוימן. מקשר זה נובע בקלות שלא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מונה אי נשיג חזק.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל אי-נשיג חזק הוא גם אי-נשיג חלש, וההפך מתקיים בהנחת GCH. ללא הנחת GCH, ניתן להראות על ידי כפייה כי בהנחה שקיים אי נשיג מתיישב שאפילו 2^{\aleph_0} הוא אי-נשיג חלש.

מונה אי נשיג חלש, יישאר גבולי וסדיר כאשר נצמצם את ההתייחסות למחלקה L, ושם - כיוון ש-GCH מתקיים, הוא יהיה אי-נשיג חזק.

מודלים ועקביות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתוך ZFC, ניתן לבנות היררכיה של כל הקבוצות. נגדיר באינדוקציה על הסודרים:

  • V_{0} := \emptyset
  • V_{\alpha + 1} := \mathcal{P}(V_\alpha) - כלומר קבוצת החזקה של הקבוצה הקודמת בהיררכיה.
  • אם \alpha סודר גבולי אז: V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} V_\beta - כלומר איחוד כל השלבים עד לאותו מקום.

אקסיומת היסוד גוררת כי כל קבוצה מוכלת בשלב מסוים בתוך V_\alpha (עבור סודר כלשהו).

ניתן להתייחס לקבוצות V_\alpha כ"תחיליות" של העולם, ולשאול כמה מתוך תורת הקבוצות מתקיימת כבר בהן. קל לראות כי למשל כל תורת הקבוצות, למעט אקסיומת האינסוף, מתקיימת ב-V_\omega. כמו כן, אם נוותר על הסכימה של אקסיומת ההחלפה ובמקומה נשתמש באקסיומת ההפרדה, החלשה יותר, נקבל שהקבוצה V_{\omega + \omega} היא מודל לגרסה הזו לתורת הקבוצות.

מוטיבציה עיקרית להגדרה של המונה האי-נשיג (חזק) היא העובדה הבאה: אם \kappa הוא מונה אי-נשיג, אז V_\kappa הוא מודל של כל ZFC. עובדה זו הופכת את המונה האי-נשיג לסוג של מונה גדול. צרמלו ושפרדסון הוכיחו משפט חזק יותר - אם ננסח את תורת הקבוצות בלוגיקה מסדר שני, כאשר הסכימה של אקסיומת ההחלפה מוחלפת באקסיומת יחידה מסדר שני נקבל כי V_\kappa הוא מודל של התורה הזו אם ורק אם \kappa הוא מונה אי-נשיג. בתורה הסטנדרטית (מסדר ראשון) הכיוון ההפוך לא נכון - אם יש מונה אי נשיג אז יש מתחתיו סודר \alpha בו V_\alpha הוא מודל של ZFC.

מעובדה זו נובע כי לא ניתן להוכיח ב-ZFC שקיים מונה אי-נשיג - נניח בשלילה שהיה ניתן להוכיח זאת, אז היינו מקבלים כי עבור \kappa המונה האי-נשיג הראשון, V_\kappa הוא מודל לתורה ZFC + "לא קיים מונה אי נשיג".

העובדה העדינה יותר היא שלא ניתן להוכיח ב-ZFC כי קיום מונה אי נשיג הוא עקבי. בניגוד, למשל, להשערת הרצף או לאקסיומת הבחירה עבורן ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי התקיימותן או שלילתן הן עקביות - כאן ניתן רק להוכיח כי "לא קיים מונה אי נשיג" עקבי עם ZFC ולא ניתן להוכיח כי "קיים מונה אי נשיג" עקבי. הסיבה לכך היא שאם היה ניתן להוכיח מתוך העקביות של ZFC כי התורה ZFC+I היא עקבית (כאשר I הוא הטענה כי קיים מונה אי נשיג), אז היינו מקבלים כי התורה ZFC+I מוכיחה את עקביותה (כי היא מוכיחה את העקביות של ZFC על ידי בניית מודל עבורה) - בסתירה למשפט אי השלמות השני של גדל.

עובדה זו מדגימה כי ההנחה (או אקסיומה) שקיים מונה אי נשיג מחזקת באופן מהותי את ZFC כיוון שהיא מאפשרת לנו להוכיח את העקביות של טענות שלא יכולנו להוכיח את עקביותן מתוך התורה הסטנדרטית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]