מחלקה (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה \ H היא קבוצה של איברי חבורה \ G המכילה את \ H, אשר מתקבלים מהכפלת אברי \ H באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה \ H מהווה חלוקה של \ G לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H בחבורה G נקרא האינדקס של H ב G, ומסומן \ [G:H]. אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-\ [G:H] = \frac{|G|}{|H|}.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ G חבורה ותהא \ H\subseteq G תת-חבורה שלה. יהא \ g\isin G איבר כלשהו, אז הקבוצה \ gH=\left\{gh|h\isin H\right\} תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של \ H ב-\ G , והקבוצה \ Hg=\left\{hg|h\isin H\right\} תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של \ H ב-\ G .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה \ H, המחלקות (מאותו צד) של \ H מהוות חלוקה של \ G לקבוצות זרות.

הוכחה: אם \ x \in g_1 H \cap g_2 H אז לפי הגדרה קיימים \ h_1, h_2 כך ש \ x =g_1 h_1 = g_2 h_2 ולכן \ g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}. מכיוון ש \ h_2 h_1^{-1} \in H, נובע ש g_1 \in g_2 H, ולכן \ g_1 H = g_2 H. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H מהוות חלוקה של G. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה \ H שווה למספר האיברים ב-\ H. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם לתת חבורה מסוימת  \ H מתקיים  \forall g\,, gH=Hg, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניקח את החבורה \ (\mathbb{Z},+), כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. \ 4\mathbb{Z} היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: \{4\mathbb{Z}, 1+4\mathbb{Z},2+4\mathbb{Z},3+4\mathbb{Z}\}. נציגים לדוגמה מהמחלקה 1+4\mathbb{Z} הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה 3+4\mathbb{Z} הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.