מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $H$ היא קבוצה של איברי חבורה $G$ אשר מתקבלת מהכפלת איברי $H$ באיבר קבוע של החבורה.
אוסף המחלקות של תת-חבורה $H$ מהווה חלוקה של $G$ לקבוצות שוות בעוצמתן.

חשוב להדגיש כי אף שמחלקות התת-חבורה נגזרות ישירות ממנה, הן אינן מהוות תת-חבורות בעצמן (למעט המחלקה הטריוויאלית) משום שאינן סגורות לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה $G=\{1,-1,i,-i\}$ והתת-חבורה שלה $H=\{1,-1\}$. המחלקה הלא-טריוויאלית המתאימה לה היא $\{i,-i\}$, והיא איננה סגורה לכפל.

הגדרה פורמלית

תהי $G$ חבורה ותהי $H\subseteq G$ תת-חבורה שלה. לכל $g\in G$ נאמר כי:

• הקבוצה $gH=\{gh:h\in H\}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $H$ ב-$G$.
• הקבוצה $Hg=\{hg:h\in H\}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $H$ ב-$G$.

תכונות

כל שתי מחלקות (מאותו צד) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $H$, המחלקות (מאותו צד) של $H$ מהוות חלוקה של $G$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם $x\in g_{1}H\cap g_{2}H$ אזי קיימים $h_{1},h_{2}$ עבורם $x=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}$ ולכן $g_{1}=g_{2}h_{2}h_{1}^{-1}$. מכיוון ש-$h_{2}h_{1}^{-1}\in H$, נובע כי $g_{1}\in g_{2}H$ ולכן $g_{1}H=g_{2}H$. הוכחנו כי אם חיתוך שתי מחלקות לא ריק אזי הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של $H$ מהוות חלוקה של $G$. לכן "יחס השייכות לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

אינדקס

מספר המחלקות השמאליות (או הימניות) של תת-חבורה $H$ בחבורה $G$ נקרא האינדקס של $H$ ב-$G$, ומסומן $[G:H]$.

מספר איברי כל מחלקה של $H$ שווה למספר איברי $H$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה.
מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של חבורה סופית מתחלק בסדר התת-חבורות שלה, לאמר $[G:H]={\frac {|G|}{|H|}}$.

נורמליות

אם לתת-חבורה $H$ מתקיים $gH=Hg$ לכל $g\in G$ – לאמר, המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות – החבורה נקראת תת-חבורה נורמלית.
לתת-חבורות נורמליות קיימת חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

נתבונן בחבורה $(\mathbb {Z} ,+)$, חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור.
$4\mathbb {Z}$ היא תת-חבורה שלה – כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת-חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:

${\bigl \{}4\mathbb {Z} ,1+4\mathbb {Z} ,2+4\mathbb {Z} ,3+4\mathbb {Z} {\bigr \}}$

נציגים לדוגמה מהמחלקה $1+4\mathbb {Z}$ הם 5, 161, או 3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $3+4\mathbb {Z}$ הם 3, 23 או 7.
נשים לב גם כי זאת חבורה אבלית, ולכן בהכרח המחלקות השמאליות שוות למחלקות הימניות.

קישורים חיצוניים

• מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)