מחלקה (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה היא קבוצה של איברי חבורה המכילה את , אשר מתקבלים מהכפלת אברי באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה מהווה חלוקה של לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H בחבורה G נקרא האינדקס של H ב G, ומסומן . אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא חבורה ותהא תת-חבורה שלה. יהא איבר כלשהו, אז הקבוצה תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של ב-, והקבוצה תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של ב-.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה , המחלקות (מאותו צד) של מהוות חלוקה של לקבוצות זרות.

הוכחה: אם אז לפי הגדרה קיימים כך ש ולכן . מכיוון ש , נובע ש , ולכן . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H מהוות חלוקה של G. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה שווה למספר האיברים ב-. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם לתת חבורה מסוימת מתקיים , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניקח את החבורה , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: . נציגים לדוגמה מהמחלקה הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]