הצמדה (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף מחלקת צמידות)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של באמצעות היא הפעולה . הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

איברים צמודים ומחלקת צמידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאמר על שני איברים ו- בחבורה שהם איברים צמודים אם קיים כך שמתקיים:

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

( איבר היחידה בחבורה).
.
  • טרנזיטיביות - אם ו- אז:

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון נקראת מחלקת הצמידות של . מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: . במילים אחרות הפונקציה היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
    • אם צמודים, אז גם צמודים.
    • לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
  • כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו (). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
  • מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:
כאשר הוא המרכז של G, הוא המְרַכֵּז של ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]