מטריצה אוניטרית

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

$A^{*}A=AA^{*}=I$ כלומר ${\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,$

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- $\ A^{*}=A^{\dagger }={\overline {A^{T}}}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

• $A\,$ מטריצה הפיכה ו-$A^{-1}={\overline {A^{T}}}\,$
• מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{*}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, $\ \|Ax\|=\|x\|$. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
• אם A אוניטרית $A^{*}\,$ ו-${\overline {A}}$ גם הן אוניטריות
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• הערך המוחלט של כל הערכים העצמיים של מטריצה אוניטרית הוא 1.
• כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.

חבורת המטריצות האוניטריות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm {U} (n)$. תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm {SU} (n)$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי