מטריצה אוניטרית

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

$A^{*}A=AA^{*}=I$ כלומר ${\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,$

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- $\ A^{*}=A^{\dagger }={\overline {A^{T}}}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

• $A\,$ מטריצה הפיכה ו-$A^{-1}={\overline {A^{T}}}\,$
• מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{*}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, $\ \|Ax\|=\|x\|$. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
• אם A אוניטרית אז, $A^{*}\,$ ו- ${\overline {A}}$ הן גם אוניטריות.
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb {F}$ היא אוניטרית אם ורק אם עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {F} ^{n}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.

חבורת המטריצות האוניטריות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm {U} (n)$. תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm {SU} (n)$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי