מטריצה אורתוגונלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה ליניארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה ממשיים המקיימת את התנאי , כאשר היא מטריצת היחידה, ו- היא המטריצה המשוחלפת של . למטריצות כאלו יש דטרמיננטה שהיא 1+ או 1-. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם. העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

אפיונים שקולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

למטריצות אורתוגונליות ישנן מספר הגדרות שקולות, החשובות בהן הן:

  • , כלומר .
  • , כלומר שהכפל של וקטורים ב-משמר מכפלה סקלרית.
  • העמודות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
  • השורות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.

2 הקריטריונים האחרונים דומים זה לזה והם שקולים מאחר שאם אורתוגונלית, כך גם .

חבורת המטריצות האורתוגונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- . מעל שדה המספרים הממשיים, היא חבורה קומפקטית.

המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה של . בשדה ממאפיין שונה מ-2, היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן , ומגדירים את חבורות המנה ו- .

המטריצה שייכת ל- אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות שונות זו מזו, ואילו כאשר n אי זוגי, ו- .

המקרה n=2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל שדה המספרים הממשיים, כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה . ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות ) נותן את אותה חבורה, ולכן . החבורה כוללת איבר נוסף, , המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן .

מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית מקיימת: כאשר ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את . הערה:

תכונות של מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מטריצה הפיכה ו-
  • מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
  • מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, . כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
  • אם A אוניטרית ו- גם הן אוניטריות

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.