מטריצה אורתוגונלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה ממשיים המקיימת את התנאי , כאשר היא מטריצת היחידה, ו- היא המטריצה המשוחלפת של . לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.

העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- . מעל שדה המספרים הממשיים, היא חבורה קומפקטית.

הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא או . המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה של . בשדה ממאפיין שונה מ-2, היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן , ומגדירים את חבורות המנה ו- .

המטריצה שייכת ל- אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, ו- .

המקרה n=2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעל שדה המספרים הממשיים, כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה . ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות ) נותן את אותה חבורה, ולכן . החבורה כוללת איבר נוסף, , המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן .

מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית מקיימת: כאשר ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את . הערה:

תכונות של מטריצות אוניטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מטריצה הפיכה ו-
  • מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
  • מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, . כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
  • אם A אוניטרית ו- גם הן אוניטריות

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.