לדלג לתוכן

מטריצה אנטי-סימטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטריתאנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)[1][2] היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי[3]:

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם מציין את הערך בשורה ה־ ובעמודה ה־, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

  • אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
  • כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
    • הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא .
    • הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
  • הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
  • בפרט, אם היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית היא מטריצה הפיכה, כאשר היא מטריצת היחידה.
  • אם היא מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
  • מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

מכפלה וקטורית

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים ו-, מוגדרת המטריצה:

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב המתאימה תהיה:[4]

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

לקריאה נוספת

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  • Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
  • Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  1. ^ Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.
  2. ^ התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית.
  3. ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38
  4. ^ F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45