באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.
השחלוף
AT של מטריצה
A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.
תהא
מטריצה מסדר
. המטריצה המשוחלפת שלה,
(מקובלים גם הסימונים
)
היא מטריצה מסדר
שמוגדרת כך:
, עבור כל
.
דוגמאות:

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:
.
.


מן התכונות האלה נובע גם שאם
הפיכה אז גם
הפיכה ו-
.
הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של
שווה לזה של
, ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.
מטריצה ריבועית
נקראת סימטרית אם
, כלומר
שווה למטריצה המשוחלפת שלה.
נקראת אנטי-סימטרית אם
.
אם
היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים
, אז
נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית
היא אורתוגונלית אם ורק אם
, כאשר
היא מטריצת היחידה.
בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה
מסומן
וכאמור מוגדר לפי
. אם
מקיימת
, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.
ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית
אם
ו-
הם מרחבים וקטוריים מעל שדה
ו-
היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה
בין המרחבים הדואליים של
ו-
המוגדרת באופן הבא:
לכל
ולכל
.
זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת
. הפונקציונל
מכונה לעיתים המשיכה לאחור של
במקביל ל-
.
אם
ו-
הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים,
הוא בסיס סדור ל-
עם בסיס דואלי
,
הוא בסיס סדור ל-
עם בסיס דואלי
ו-
היא המטריצה המייצגת של
ביחס לבסיסים
, אז המטריצה המייצגת של
ביחס לבסיסים
היא בדיוק
.