מטריצת ונדרמונט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מטריצת ונדרמונט (על-שם אלכסנדר ונדרמונט) היא מטריצה מסדר  n \times m כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן:

V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}
\end{bmatrix}


אם המטריצה ריבועית (m=n), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונט מבוטאת על ידי הביטוי: \det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).

מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את המקדמים של הפולינום a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} לערכים שהפולינום מקבל בנקודות \alpha_i.. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.

דוגמה למטריצת ונדרמונט מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה αi נבחרים להיות שורשי היחידה:


W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix}
1&1&1&1&\cdots &1 \\
1&\omega&\omega^2&\omega^3&\cdots&\omega^{N-1} \\
1&\omega^2&\omega^4&\omega^6&\cdots&\omega^{2(N-1)}\\ 1&\omega^3&\omega^6&\omega^9&\cdots&\omega^{3(N-1)}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
1&\omega^{N-1}&\omega^{2(N-1)}&\omega^{3(N-1)}&\cdots&\omega^{(N-1)(N-1)}\\
\end{bmatrix},
כאשר \omega = e^{-\frac{2\pi i}{N}}

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.