מטריצת סיבוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

סימון[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: (קיצור של Matrix), (קיצור של Rotation) ו- (קיצור של Cosine).

נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.

לדוגמה סיבוב ממערכת צירים למערכת צירי :

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי מטריצת סיבוב מסדר . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

כאשר היא מטריצת היחידה.
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

סיבוב נגד כיוון השעון של וקטור בזווית θ. כאשר הווקטור היה מיושר בהתחלה עם ציר ה-x.

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית היא:

כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:

תלת-ממד[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - בזווית היא:
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - בזווית היא:
  • מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - בזווית היא:

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

  • מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x[1]:

זוויות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ סיבוב ראשון סביב ציר x, לאחר מכן סיבוב סביב ציר y ולבסוף סיבוב סביב ציר z