משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה $\ f$ היא רציפה בנקודה $\ x_{0}$ אם ורק אם עבור כל סדרה $\ a_{n}$ השואפת לנקודה זו, $\ a_{n}\rightarrow x_{0}$ מתקיים $\ f(a_{n})\rightarrow f(x_{0})$. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת $\ f(x)$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $\ [a,b]$. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים $\ \varepsilon _{0}$ כך שעבור כל $\ n\in \mathbb {N}$ קיימות שתי נקודות $\ x_{n},y_{n}\in [a,b]$ כך שמתקיים $\ |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}$, אבל $\ |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}$.

נביט כעת בסדרה $\ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$. כל אברי הסדרה שייכים לקטע $\ [a,b]$, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר $\ x_{n_{k}}\rightarrow x_{0}\in [a,b]$.

כעת נוכיח כי $\ y_{n_{k}}\rightarrow x_{0}$ - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש-$\ |x_{n}-y_{n}|<{\frac {1}{n}}$ נובע כי $\ |x_{n_{k}}-y_{n_{k}}|<{\frac {1}{n_{k}}}$, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי

$\lim _{k\to \infty }(y_{n_{k}})=\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}})-\lim _{k\to \infty }(x_{n_{k}}-y_{n_{k}})=x_{0}$

על פי רציפות $\ f$, מתקיים: $\ f(x_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0}),f(y_{n_{k}})\rightarrow f(x_{0})$. מאריתמטיקה של גבולות נקבל $\ f(x_{n_{k}})-f(y_{n_{k}})\rightarrow 0$, וזו סתירה לכך שמתקיים $\ |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \varepsilon _{0}$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.