אקספוננט

באנליזה מתמטית, אקספוננט הוא פונקציה מעריכית עם בסיס e, שלה תכונות מיוחדות רבות ושימושיות. משמעות המילה אקספוננט היא חזקה ולכן בתחומים רבים של המדע המונח אקספוננט משמש לתיאור פונקציה מעריכית כללית (פונקציה מהצורה $\ ka^{x}$, כאשר a נקרא בסיס הפונקציה). בערך זה מתייחס השם "אקספוננט" רק לפונקציה המעריכית עם בסיס e, שהוא בסיס הלוגריתם הטבעי.

האקספוננט מופיע בתחומים רבים באנליזה מתמטית, כאשר בכל תחום האקספוננט מוגדר מכיוון אחר. האקספוננט הממשי הוא הפונקציה $\ e^{x}$. האקספוננט הממשי (וכן גם האקספוננט המרוכב) מאפשר לבנות את פעולת החזקה ואת הפונקציות המעריכיות בכלל, ולהוכיח את תכונותיהן.

האקספוננט הממשי

הערכים הראשונים של טור החזקות

פונקציית האקספוננט הממשי היא אחת הפונקציות הבסיסיות שנלמדות בחדו"א. ניתן להגדיר את האקספוננט במספר דרכים שקולות, כאשר כל אחת מהן מבליטה תכונה אחרת שלו.

ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה המעריכית $\ e^{x}$, כאשר את הקבוע e מגדירים באמצעות הגבול $\ e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (או בדרכים אחרות; ראו הערך על הקבוע e). הגדרה זו מתבססת על הגדרה קודמת של חזקה בין מספרים ממשיים כלשהם.

פונקציית האקספוננט היא הפונקציה האנליטית היחידה שכל הנגזרות שלה ב-0 מקבלות את הערך 1, ולכן אפשר להגדיר אותה גם כטור חזקות:

$\exp(x)=e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

מן ההגדרה הזו, על ידי האריתמטיקה של מכפלת טורים, נובעת התכונה היסודית של האקספוננט:

$\ \exp(x)\cdot \exp(y)=\exp(x+y)$

תכונה זו נובעת מהגדרת הטור ומן הבינום של ניוטון, ואין צורך בעובדה שהטור מתכנס לפונקציה מעריכית כדי להוכיח אותה.

פונקציית האקספוננט היא גם הגבול של הסדרה הבאה:

$\ e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

למעשה, באופן כללי בכל אלגברת בנך הפונקציה הזו וטור החזקות שהוצג לעיל תמיד מתכנסים לאותו גבול.

תכונות

הפונקציה $\ e^{x}$ פונקציה רציפה וגזירה (משום שהיא ניתנת להצגה כסכום של טור חזקות מתכנס בכל הישר). בנוסף, הנגזרת של האקספוננט היא שוב האקספוננט -

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)'=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot x^{n-1}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

כאשר המעבר מהשוויון הראשון לשני נעשה על פי כללי גזירה בטורים, והמעבר מהשוויון השלישי לאחרון נעשה על ידי ההחלפה $\ k=n-1$.
תכונה זו כמעט ייחודית לפונקציית האקספוננט, כלומר אם $\ f(x)=f'(x)$ לכל $\ x$ אז $\ f(x)=Ce^{x}$ כלומר $\ f$ היא פונקציית האקספוננט עד כדי כפל בקבוע ממשי. לכן, ניתן להגדיר את האקספוננט כפונקציה (היחידה) שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:

$\ f'(x)=f(x)$ לכל $x\in \mathbb {R}$

$\ f(0)=1$ - אלו תנאי ההתחלה שמייחדים את האקספוננט מכל שאר הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית.

קל לראות מהתכונה היסודית של האקספוננט שכל הערכים שלו הם חיוביים. הסיבה היא שאם היה לו ערך שלילי - אז ממשפט ערך הביניים, היה קיים מספר ממשי c כך שמתקיים לגביו $\ e^{c}=0$. אבל זה לא ייתכן כי אם נניח בשלילה שקיים מספר כזה, אז היה מתקבל מיד:

$\ e=e^{1}=e^{1-c+c}=e^{1-c}\cdot e^{c}=e^{1-c}\cdot 0=0$, מה שכמובן לא ייתכן.

כלומר קיבלנו $\ e^{x}>0$ לכל מספר ממשי. ממשפט הערך הממוצע נובע שהפונקציה היא מונוטונית עולה בכל תחום הגדרתה, ובפרט חד חד ערכית. בנוסף, $\ e=e^{1}>1$ ולכן הסדרה הגאומטרית $\ e^{n}$ שואפת לאינסוף, ולכן האקספוננט הוא פונקציה על כפונקציה מהמספרים הממשיים למספרים החיוביים. למעשה, הוא הומומורפיזם של חבורות בין החבורה $\ (\mathbb {R} ,+,0)$ והחבורה $\ (\mathbb {R} ^{>0},\cdot ,1)$.

כיוון שהאקספוננט הוא פונקציה חח"ע מהמספרים הממשיים, קיימת לו פונקציה הפוכה, מהמספרים החיוביים שמסומנת $\ \log(x)$ או $\ \ln(x)$, ונקראת הלוגריתם הטבעי. ניתן גם להגדיר את הלוגריתם הטבעי קודם להגדרת האקספוננט (בתור האינטגרל הלא מסוים של $\ x^{-1}$) ולאחר מכן להגדיר את האקספוננט כפונקציה ההופכית ללוגריתם הטבעי.

האקספוננט המרוכב

גם בתורת המספרים המרוכבים פונקציית האקספוננט ממלאת תפקיד חשוב. את הפונקציה שהגדרנו עבור מספרים ממשיים ניתן להרחיב לכל מספר מרוכב. בדומה לאקספוננט הממשי, גם בשדה המספרים המרוכבים קיימות מספר דרכים שקולות להגדיר את האקספוננט.

ניתן להגדיר את האקספוננט באמצעות אותו טור חזקות שבו השתמשנו להגדרת האקספוננט הממשי:

$\ e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ כאשר $z\in \mathbb {C}$, מספר מרוכב כלשהו.

נשים לב, שהסימון e בחזקת z הוא סימון פורמלי בלבד, כיוון שהגדרת האקספוננט קודמת להגדרת חזקות כלליות במספרים המרוכבים. טור זה מתכנס עבור כל מספר מרוכב והוא מגדיר את $\ e^{z}$ כפונקציה מרוכבת, שהיא פונקציה אנליטית. ניתן להראות (ונוכיח זאת בהמשך) שמתקיים:

$\ e^{x+iy}=e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y)$

תכונות

האקספוננט המרוכב "יורש" את כל התכונות של האקספוננט הממשי, שנבעו מתוך ההגדרה שלו כטור חזקות.

$\ e^{z+w}=e^{z}\cdot e^{w}$

$\ (e^{z})'=e^{z}$

$\ e^{0}=1$

האקספוננט המרוכב מתלכד עם האקספוננט הממשי עבור כל מספר ממשי.
על ידי השוואה בין טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות, לבין תוצאת הטור של $\ e^{z}$ כאשר מציבים $\ z=iy$ מתקבלת התוצאה $\ e^{iy}=\cos(y)+i\cdot \sin(y)$. נוסחה זו מכונה נוסחת אוילר, ובפרט מתקבלת זהות אוילר: $\ e^{\pi i}+1=0$. אם נכפיל את הזהות הזו ב- $\ e^{x}$ נקבל את הנוסחה הכללית:

$\ e^{x+iy}=e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y)$, עבור $x,y\in \mathbb {R}$ .

מהנוסחה האחרונה נובע שהאקספוננט המרוכב הוא לא חד חד ערכי, כי לדוגמה, $\ e^{2\pi i}=1=e^{0}$. לעומת זאת הוא מחזיר כל מספר מרוכב חוץ מאפס.

לפי משפט לינדמן האקספוננט המרוכב (ולכן גם הממשי) מחזיר ערכים טרנסצנדנטיים בנקודות אלגבריות שונות מאפס.

האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות

את הפונקציות הטריגונומטריות, במספרים הממשיים כמו גם במספרים המרוכבים, ניתן להגדיר באופן נוח בעזרת פונקציית האקספוננט. מנוסחת אוילר, על ידי הצבת y- במקום y, נובע שלכל מספר ממשי מתקיימות הזהויות הבאות:

$\ \cos(y)={\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}$

$\ \sin(y)={\frac {e^{iy}-e^{-iy}}{2i}}$

זהויות אלו יכולות לשמש כהגדרה של הפונקציות הטריגונומטריות עבור כל y מרוכב. ההגדרה הזו נוחה במיוחד, כי היא מאפשרת לגזור את התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות ישירות מתכונות האקספוננט המרוכב. כך למשל הפונקציות הטריגונומטריות המרוכבות נשארות מחזוריות גם במישור המרוכב ומקיימות לכל z:

$\ \cos(z+2\pi )=\cos(z)$

$\ \sin(z+2\pi )=\sin(z)$

ולכל מספר אחר אם $\ \cos(z+w)=\cos(z)$ לכל z אז בהכרח $\ k\in \mathbb {Z} \ \ \ w=2k\pi$, וכך גם לגבי הסינוס.

החזקה המרוכבת

את החזקה המרוכבת נוח להגדיר באמצעות האקספוננט המרוכב והלוגריתם הטבעי המתאים לו:

$\ z^{w}=e^{w\ln z}$

החזקה המרוכבת אינה פונקציה חד ערכית, והיא יכולה להחזיר עבור כל w שאינו רציונלי אינסוף ערכים. כדי שהיא תוגדר היטב יש לבחור "ענף" קבוע ללוגריתם.

האקספוננט המטריציאלי

הגדרת האקספוננט דרך טור חזקות, מאפשרת להרחיב את ההגדרה לכל אלגברת בנך, ובמיוחד לאלגברת המטריצות. לכל מטריצה ריבועית $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ הטור הבא מתכנס (בכל נורמה שמשמרה את הטופולוגיה הרגילה):

$\ e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot A^{n}$

ברור שהסימון e בחזקת A הוא סימון פורמלי בלבד, ואפילו אין דרך כללית להגדיר חזקות בין מטריצות. האקספוננט המטריציאלי משמש, בין השאר, בפתרון מערכות של משוואות דיפרנציאליות לינאריות.

תכונות

כיוון שכפל מטריצות הוא לא קומוטטיבי, התכונה היסודית של האקספוננט - המרת חיבור בכפל, בדרך כלל לא מתקיימת. תכונה זו מתקיימת כאשר המטריצות מתחלפות כלומר:

אם $\ AB=BA$ אז$\ e^{A+B}=e^{A}\cdot e^{B}$.

מכאן נובעות התכונות שמאפיינות את תמונת האקספוננט המטריציאלי:

$\ e^{A}\cdot e^{-A}=e^{0}=I$ - כלומר כל מטריצה שמתקבלת כאקספוננט של מטריצה אחרת היא הפיכה.

במטריצות מרוכבות גם הכיוון ההפוך נכון - כל מטריצה הפיכה ניתן להציג כאקספוננט של מטריצה אחרת.

$\ e^{nA}=(e^{A})^{n}$

בנוסף האקספוננט המטריציאלי משמר דמיון מטריצות:

$\ e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^{A}P$

התכונה האחרונה מאפשרת לחשב באופן מפורש ביטויים מהצורה $\ \Phi (t)=e^{tA}$ באמצעות מציאת צורת ז'ורדן של המטריצה.

קישורים חיצוניים

פונקציית האקספוננט בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"