סדרה נורמלית

בתורת החבורות, סדרה נורמלית של חבורה $\ G$ היא שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה. כלומר: $\ G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{k}$, כאשר $\triangleright$ מסמן שמדובר בתת-חבורה נורמלית.

הערה: יש המגדירים סידרה נורמלית של חבורה $\ G$ כשרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של $\ G$ ואז שרשרת של תת חבורות, שכל אחת היא תת חבורה נורמלית של קודמתה נקראת סידרה תת-נורמלית.

גורמי הסדרה הם כל חבורות המנה מהצורה $\ G_{i}/G_{i+1}$.

עידון של סדרה הוא סדרה ארוכה יותר, הכוללת את כל תת-החבורות של הסדרה הקודמת. אפשר לעדן סדרה נתונה אם קיימת חבורה $\ L$ שמקיימת $\ G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}$, $\ G_{i}\neq L\neq G_{i+1}$. במקרה זה הסדרה $\ G=G_{0}\triangleright \cdots \triangleright G_{i}\triangleright L\triangleright G_{i+1}\triangleright G_{k}$ היא עידון של הסדרה המקורית.

סדרת הרכב של חבורה $\ G$ היא סדרה נורמלית שמסתיימת ב-$\ \{e\}$ ולא ניתן לעדן אותה מבלי להוסיף חזרות. ניתן לראות שסדרה נורמלית היא סדרת הרכב אם ורק אם היא נגמרת ב-$\ \{e\}$ וכל הגורמים שלה חבורות פשוטות.

החשיבות הרבה של סדרות ההרכב נעוצה בעובדה שגורמי ההרכב של כל חבורה סופית $\ G$ הם קבועים עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר, ואינם תלויים בסדרת ההרכב (ראו משפט ז'ורדן-הולדר).

חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית עם גורמים אבליים; לחבורה שאינה פתירה יש תמיד סדרת הרכב עם גורם שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

ראו גם

• סדרה מרכזית עולה
• סדרה מרכזית יורדת