קואורדינטות גליליות

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

קואורדינטות קרטזיות קואורדינטות קוטביות קואורדינטות גליליות קואורדינטות כדוריות קואורדינטות גליליות פרבוליות

ראו גם

קואורדינטות קואורדינטות גאוגרפיות קואורדינטות (אלגברה) חשבון טנזורים אנליזה וקטורית

קואורדינטות גליליות הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{3}$. מערכת זאת מתבססת על חלוקה "אינסופית" של המרחב לפרוסות בגבהים שונים. כל פרוסה מתוארת בקואורדינטות קוטביות (פולאריות): מרחק וזווית.

בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה גלילית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות גליליות. בקואורדינטות אלה מחליפות $\!\,\rho ,\theta ,h$ את x,y,z .

הגדרה

קואורדינטות גליליות - הגדרה

הגדרת הקואורדינטות הגלילות נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הגלילות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).

• הקואורדינטה $\rho$: קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין ההיטל של הווקטור במישור x-y לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי לא-שלילי (כולל אפס). קואורדינטה זו מסומנת לעתים קרובות (כאשר אין חשש לבלבול עם קואורדינטות כדוריות) גם באותיות r או s.
• הקואורדינטה הזוויתית $\theta$: אזימוט, מייצגת את הזווית שבין היטל הווקטור במישור x-y לציר ה x, כאשר בזווית אפס היטל הווקטור מקביל לציר ה x (כלומר: הווקטור מוכל כולו במישור x-z). קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפעמיים פאי. קואורדינטה זאת מסומנת לעתים גם באות היוונית $\varphi$.
• הקואורדינטה h: גובה, מייצגת את ההיטל של הווקטור על ציר z. כלומר: מהו הגובה של הנקודה. קואורדינטה זו שווה לשיעור z שלה בקואורדינטות קרטזיות.

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הגליליים הם $\!\,\rho ,\theta ,h$ אזי שיעוריו הקרטזיים הם:

${\begin{matrix}x&=&\rho \cos \theta \\y&=&\rho \sin \theta \\z&=&h\end{matrix}}$

מסיבה זו נהוג בדרך כלל לקרוא לגובה h בשם המקורי z. כמו כן, כמצוין לעיל, לקואורדינטות מרחק ההיטל ( $\rho$ ) והזווית נהוג לסמן במספר אותיות. מאחר שקואורדינטות אלו שונות בתכלית זו מזו אין חשש לבלבול גם כאשר משתמשים במוסכמות סימונים שונות, וזאת כי יש רק זווית אחת בבעיה.

וקטורי היחידה

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ

$\ {\vec {A}}=A_{x}{\hat {e}}_{x}+A_{y}{\hat {e}}_{y}+A_{z}{\hat {e}}_{z}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}$

כאשר $\ {\hat {e}}_{i}\ ,\ i=\{x,y,z\}$ הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור הצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל 1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו z.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות גליליות:

$\ {\vec {A}}=A_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+A_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+A_{z}{\hat {e}}_{z}$

כאשר לוקטורים $\ {\hat {e}}_{j}\ ,\ j=\{\rho ,\theta ,z\}$ נקרא "וקטורי היחידה הגליליים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי

${\begin{matrix}{\hat {\rho }}={\hat {e}}_{\rho }&=&(\cos \theta ){\hat {x}}&+(\sin \theta ){\hat {y}}&+(0){\hat {z}}\\{\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }&=&(-\sin \theta ){\hat {x}}&+(\cos \theta ){\hat {y}}&+(0){\hat {z}}\\{\hat {z}}={\hat {z}}_{\phi }&=&(0){\hat {x}}&+(0){\hat {y}}&+(1){\hat {z}}\end{matrix}}$

כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: $\ {\hat {\rho }}\times {\hat {\theta }}={\hat {z}}$.

יש לשים לב שעבור וקטור המקום, למרות שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:

$\ {\vec {\rho }}=x{\hat {e}}_{x}+y{\hat {e}}_{y}+z{\hat {e}}_{z}$

או במפורש:

$\ {\rho }_{x}(x,y,z)=x$,

$\ {\rho }_{y}(x,y,z)=y$,

$\ {\rho }_{z}(x,y,z)=z$,

הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות גליליות, וקטור המקום ייוצג כ:

$\ {\vec {\rho }}=\rho {\hat {e}}_{\rho }+z{\hat {e}}_{z}$

תכונות מטריות

המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שהאלמנטים השונים מאפס שלה הם:

$\ g_{\rho \rho }=1\ ,\ g_{\theta \theta }={\rho }^{2}\ ,\ g_{zz}=1$

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא

$\ d{\vec {l}}=(d\rho ){\hat {\rho }}+(\rho d\theta ){\hat {\theta }}+(dz){\hat {z}}$

שטחים ונפחים

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של $\!\,d\rho ,d\phi ,dz$ . נסתכל על אלמנט נפח אינפינטסימלי שמונח על קליפה עבה של גליל, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב טוב הוא די קובייתי. עוביו הוא $\ d\rho$ , גובהו הוא $\ dz$ ואילו אורכו (ההיקף) הוא $\ \rho d\theta$ ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפינטסימלי יהיה

$\!\,dV=\rho \ d\rho \ d\theta \ dz$ .

באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

אנליזה וקטורית

אנליזה וקטורית היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של שדות סקלריים ווקטוריים בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ, רוטור ולפלסיאן) בקואורדינטות גליליות:

ראו גם

• גליל
• אנליזה וקטורית
• גאומטריה דיפרנציאלית

קישורים חיצוניים

• קואורדינטות גליליות, באתר MathWorld (באנגלית)