מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Addbot (שיחה | תרומות)
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q1393796
שורה 14: שורה 14:
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה '''מרחב המנה של V מעל W''' המסומן: V/W.
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה '''מרחב המנה של V מעל W''' המסומן: V/W.
===הוכחת ~ יחס שקילות===
===הוכחת ~ יחס שקילות===
*'''רפלקסיביות''': מאחר ש x ∈ W מתקיים x-x = 0 ∈ W.
*'''רפלקסיביות''': לכל x ∈ V מתקיים x-x = 0 וכן 0 ∈ W מאחר ש W מרחב וקטורי
*'''סימטריות''': x-y ∈ W ומשום תכונת ה[[סגירות (אלגברה)|סגירות]] במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
*'''סימטריות''': x-y ∈ W ומשום תכונת ה[[סגירות (אלגברה)|סגירות]] במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
*'''טרנזיטיביות''': x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-x) = x-z ∈ W.
*'''טרנזיטיביות''': x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-z) = x-z ∈ W.


==דוגמאות למרחב מנה==
==דוגמאות למרחב מנה==

גרסה מ־18:23, 3 בינואר 2015

באלגברה לינארית, המנה של מרחב וקטורי בתת-מרחב הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו נקרא מרחב מנה וסימנו: .

הגדרה

את ההגדרה המובאת להלן בנה פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו Finite dimensional vector spaces. יהא V מרחב וקטורי מעל שדה F ו-W תת מרחב שלו. מגדירים יחס ב-V : עבור x,y וקטורים ב־V זהו יחס שקילות.

מחלקת השקילות של וקטור x ב־V היא:

מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך:
וכן מגדירים כפל מחלקה בסקלר a מהשדה F:
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה מרחב המנה של V מעל W המסומן: V/W.

הוכחת ~ יחס שקילות

  • רפלקסיביות: לכל x ∈ V מתקיים x-x = 0 וכן 0 ∈ W מאחר ש W מרחב וקטורי
  • סימטריות: x-y ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
  • טרנזיטיביות: x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-z) = x-z ∈ W.

דוגמאות למרחב מנה


שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים

פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים