משפט ההצגה של ריס

מספר משפטים חשובים באלגברה לינארית ובאנליזה פונקציונלית ידועים בתור משפט ההצגה של ריס. המשפטים קרויים של שמו של המתמטיקאי היהודי-הונגרי פרידיש ריס.

משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על מרחב הילברט

משפט זה מספק תיאור מלא של המרחב הדואלי של מרחב הילברט: אם השדה שמעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים, שני מרחבים אלו הם איזומורפיים (כמרחבים נורמיים) ואם השדה הוא שדה המספרים המרוכבים, שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים. נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים תאורטיים.

יהי ${\mathcal {H}}$ מרחב הילברט עם מכפלה פנימית $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ ונסמן ב-${\mathcal {H}}^{*}$ את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל הפונקציונלים הלינאריים הרציפים מ-${\mathcal {H}}$ לשדה הבסיס $\mathbb {R}$ או $\mathbb {C}$. בהינתן $x\in {\mathcal {H}}$ ההעתקה המוגדרת על ידי

$\phi _{x}\left(y\right)=\left\langle y,x\right\rangle$ לכל $y\in {\mathcal {H}}$

מהווה פונקציונל לינארי רציף על ${\mathcal {H}}$. משפט ההצגה של ריס אומר שכל איבר ב-${\mathcal {H}}^{*}$ ניתן להיכתב בצורה אחת ויחידה כזו.

משפט: ההעתקה

$\Phi :{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}^{*},\quad \Phi (x)=\phi _{x}$

היא (אנטי-) איזומורפיזם איזומטרי, כלומר:

• $\ \Phi$ היא חד חד ערכית ועל.

• מתקיים $\left\Vert \Phi \left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert$ לכל $x\in {\mathcal {H}}$, כאשר $\left\Vert \cdot \right\Vert$ מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו נורמה אופרטורית).

• $\ \Phi$ היא אדיטיבית: $\ \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})$ לכל $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {H}}$.

• אם שדה הבסיס הוא $\mathbb {R}$, אז $\ \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)$ לכל מספר ממשי $\ \lambda$.

• אם שדה הבסיס הוא $\mathbb {C}$, אז $\ \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)$ לכל מספר מרוכב $\ \lambda$.

את ההעתקה ההפוכה ל-$\ \Phi$ ניתן לתאר באופן הבא. יהי $\ \varphi$ פונקציונל לינארי רציף על ${\mathcal {H}}$ ונפריד למקרים. אם $\ \varphi$ הוא פונקציונל האפס, ניתן פשוט לבחור $\ x=0$. אחרת, משפט בסיסי בתורה של מרחבי הילברט אומר שקיים וקטור $z\neq 0$ אשר שייך למשלים האורתוגונלי של $\ker \varphi$. כעת אם נגדיר $x={\frac {\overline {\varphi \left(z\right)}}{\left\Vert z\right\Vert ^{2}}}z$ אז יתקיים $\Phi \left(x\right)=\varphi$, כפי שרצינו.

משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט

יהיו ${\mathcal {H}}_{1}$ ו-${\mathcal {H}}_{2}$ מרחבי הילברט. תבנית ססקווילינארית על זוג מרחבים אלה היא העתקה $\left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}$ שלינארית במשתנה הראשון ואנטי-לינארית במשתנה השני. אומרים שהיא חסומה אם קיים קבוע ממשי $C\geq 0$ כך ש-$\left|\left[u,v\right]\right|\leq C\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert$ לכל $u\in {\mathcal {H}}_{1}$ ו-$v\in {\mathcal {H}}_{2}$, כאשר $\left\Vert \cdot \right\Vert$ מסמן הן את הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית ב-${\mathcal {H}}_{1}$ והן את הנורמה המושרית על ${\mathcal {H}}_{2}$. תבנית ססקווילינארית היא חסומה אם ורק אם היא פונקציה רציפה (ביחס לטופולוגית המכפלה על ${\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}$) ולכן כששני המרחבים ${\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{2}$ הם סוף-ממדיים, כל תבנית ססקווילינארית היא חסומה.

נסמן ב-$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ את המכפלה הפנימית על ${\mathcal {H}}_{2}$.

משפט: בהינתן העתקה לינארית חסומה $T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}$, ניתן להגדיר תבנית ססקווילינארית חסומה $\left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}$ על ידי $\left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle$ (החסימות נובעת מאי-שוויון קושי-שוורץ). יתרה מזאת, עבור כל תבנית ססקווילינארית חסומה $\left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C}$ קיימת העתקה לינארית חסומה יחידה $T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}$ כך שהשוויון $\left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle$ מתקיים לכל $u\in {\mathcal {H}}_{1}$ ו-$v\in {\mathcal {H}}_{2}$.

משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חיוביים על (C_c(X

יהי $X$ מרחב טופולוגי. המרחב $C_{c}\left(X\right)$ מורכב מכל הפונקציות $f:X\to \mathbb {C}$ אשר רציפות ובעלות תומך קומפקטי. ניתן לצייד מרחב זה בפעולות נקודתיות של חיבור וכפל בסקלר וכן בנורמת הסופרמום ובכך הוא הופך למרחב נורמי. פונקציונל לינארי חיובי על מרחב זה הוא העתקה $\mathbb {C}$-לינארית $\Lambda :C_{c}\left(X\right)\to \mathbb {C}$ אשר בנוסף יש לה את התכונה הבאה: אם $f\in C_{c}\left(X\right)$ היא פונקציה ממשית אי-שלילית, אז גם $\Lambda \left(f\right)$ היא כזו. בהנחה והטופולוגיה על $X$ היא "סבירה" דיו, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי חיובי על $C_{c}\left(X\right)$ ניתן להיכתב ביחידות כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה "סבירה" מסוימת.

משפט: יהי $X$ מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי $\Lambda$ פונקציונל לינארי חיובי על $C_{c}\left(X\right)$. אז קיימת מידת רדון (כלומר מידה חיובית סופית מקומית ורגולרית) יחידה $\mu$ על $X$ המקיימת

$\Lambda \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu$ לכל $f\in C_{c}\left(X\right)$.

למידה זו יש גם שתי תכונות נוספות:

• $\mu$ היא מידה שלמה.

• אם $X$ הוא בנוסף מרחב סיגמא-קומפקטי, $\mu$ היא מידת רדון רגולרית.

משפט זה מהווה קשר חשוב בין תורת המידה ואנליזה פונקציונלית ומספק דרך אפקטיבית לבנות מידות על מרחבים מסוימים. לדוגמה, $\mathbb {R} ^{n}$ הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית וסיגמא-קומפקטי וההעתקה $f\mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f\left(x\right)\,dx$ (כאשר כאן האינטגרל הוא אינטגרל רימן הרגיל) מגדירה פונקציונל לינארי חיובי על $C_{c}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$. תנאי המשפט מתקיימים והמידה $\mu$ המייצגת את הפונקציונל $\Lambda$ היא מידת לבג על $\mathbb {R} ^{n}$.

משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על (C₀(X

כמו קודם, נניח כי $X$ הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה לעתים משפט ריס-מרקוב, מראה שניתן להציג כל פונקציונל לינארי רציף על המרחב $C_{0}\left(X\right)$ כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת מסוימת. המרחב $C_{0}\left(X\right)$ מורכב מכל הפונקציות $f:X\to \mathbb {C}$ שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל $\varepsilon >0$ קיימת תת-קבוצה קומפקטית $K\subseteq X$ כך ש-$\left|f\left(x\right)\right|<\varepsilon$ לכל $x\notin K$. זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום. מובן ש-$C_{c}\left(X\right)\subseteq C_{0}\left(X\right)$.

מידה מרוכבת $\mu$ על $X$ נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר $\left|\mu \right|$, היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על $X$ מסומן $M\left(X\right)$ והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה $\mu \mapsto \left|\mu \right|$ (כאשר $\left|\mu \right|$ היא מידת ההשתנות הכוללת) מגדירה נורמה על $M\left(X\right)$ והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה $\mu \in M\left(X\right)$ ניתן להגדיר פונקציונל לינארי רציף על $C_{0}\left(X\right)$ על ידי

$\Phi _{\mu }\left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu$ לכל $f\in C_{0}(X)$.

משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על $C_{0}\left(X\right)$ הוא מצורה זו, בהנחה ו-X הוא מרחב טופולוגי "סביר". נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן.

משפט: יהי $X$ מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אז ההעתקה

$\Psi :M\left(X\right)\to C_{0}^{*}\left(X\right),\quad \mu \mapsto \Phi _{\mu }$

היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:

• $\Psi$ היא חד חד ערכית ועל.

• $\Psi$ היא לינארית, כלומר $\Psi \left(\mu _{1}+c\mu _{2}\right)=\Psi \left(\mu _{1}\right)+c\Psi \left(\mu _{2}\right)$ לכל $\mu _{1},\mu _{2}\in M\left(X\right)$ ולכל סקלר $c\in \mathbb {C}$.

• $\Psi$ היא איזומטריה, כלומר $\left\Vert \Phi _{\mu }\right\Vert =\left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)$.

ל-$\Psi$ יש גם תכונה שימושית נוספת. הפונקציונל $\Psi \left(\mu \right)=\Phi _{\mu }$ הוא פונקציונל לינארי חיובי אם ורק אם המידה $\mu$ היא מידה חיובית.

משפט ההצגה לפונקציונלים לינאריים חסומים על (L^p(μ

יהי $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ מרחב מידה ויהי $L^{p}\left(\mu \right)$ מרחב כל הפונקציות המדידות $f:X\to \mathbb {C}$ שנורמת-p שלהן היא סופית: $\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int _{X}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}<\infty$ (ראו מרחב Lp). מגדירים גם את $L^{\infty }\left(\mu \right)$ בתור מרחב כל הפונקציות המדידות $f:X\to \mathbb {C}$ עבורן $\left\Vert f\right\Vert _{\infty }<\infty$ (כאשר $\left\Vert f\right\Vert _{\infty }$ הוא המספר הקטן ביותר $C\in \left[0,\infty \right]$ שעבורו $\left|f\left(x\right)\right|\leq C$ ל-$\mu$-כמעט כל $x\in X$).

ידוע כי עבור כל $1\leq p\leq \infty$ המרחב $L^{p}\left(\mu \right)$ הוא מרחב בנך ביחס לנורמה $\left\Vert f\right\Vert _{p}$ ושבמקרה $p=2$ (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי $\left\langle f,g\right\rangle =\int _{X}f{\bar {g}}\,d\mu$. לכן $L^{2}\left(\mu \right)$ הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל לינארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה $f\mapsto \int _{X}{fg}\,d\mu$ עבור $g\in L^{2}\left(\mu \right)$ כלשהי. נשאלת השאלה אם ניתן לתת אפיון דומה לפונקציונלים הלינאריים הרציפים על $L^{p}\left(\mu \right)$ עבור $p$ כללי. יהי $q\geq 1$ האקספוננט הצמוד ל-$p$, כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ (במקרה $p=1$ מסכימים ש-$q=\infty$). תהי $g\in L^{q}\left(\mu \right)$ ונגדיר את ההעתקה הבאה:

$\Phi _{g}\left(f\right)=\int _{X}fg\,d\mu$ לכל $f\in L^{p}\left(\mu \right)$.

מאי-שוויון הלדר נובע שהאינטגרנד $fg$ שייך ל-$L^{1}\left(\mu \right)$ ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל לינארי רציף $\Phi _{g}:L^{p}\left(\mu \right)\to \mathbb {C}$. אם מרחב המידה $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ הינו "סביר" במובן מסוים ו-$p\neq \infty$, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל לינארי רציף על $L^{p}\left(\mu \right)$ הוא מצורה זו.

משפט: יהי $1\leq p<\infty$ ונניח ש-$\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ הוא מרחב מידה סיגמא-סופי. אז ההעתקה

$\Psi :L^{q}\left(\mu \right)\to \left(L^{p}\left(\mu \right)\right)^{*},\quad g\mapsto \Phi _{g}$

היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:

• $\Psi$ היא חד חד ערכית ועל.

• $\Psi$ היא לינארית, כלומר $\Psi \left(g_{1}+cg_{2}\right)=\Psi \left(g_{1}\right)+c\Psi \left(g_{2}\right)$ לכל $g_{1},g_{2}\in L^{q}\left(\mu \right)$ ולכל סקלר $c\in \mathbb {C}$.

• $\Psi$ היא איזומטריה, כלומר $\left\Vert \Phi _{g}\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}$.

בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש-$L^{q}\left(\mu \right)$ הוא המרחב הדואלי ל-$L^{p}\left(\mu \right)$ (תחת הנחות המשפט, כמובן).

הערות:

• עבור $1<p<\infty$ ההנחה שהמרחב $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)$ הוא סיגמא-סופי היא מיותרת.

• עבור $p=\infty$ המשפט אינו נכון. במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה שיכון איזומטרי בלבד, כלומר $L^{1}\left(\mu \right)\hookrightarrow \left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*}$, ובדרך כלל המרחב $\left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*}$ הוא הרבה יותר גדול.