סדר מלא

בתורת הקבוצות, סדר חלקי מלא (או סדר חלקי לינארי) הוא סדר חלקי שמקיים גם את תכונות ההשוואה, כלומר, לכל $\ a$ ו-$\ b$ בקבוצה הסדורה חלקית $\ \left(A,\leq \right)$ מתקיים $\ a\leq b$ או $\ b\leq a$. קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת קבוצה סדורה (או קבוצה סדורה לינארית או שרשרת).

דוגמאות:

• היחס קטן או שווה על קבוצת המספרים הטבעיים, שנסמנו $\!\,\left(\mathbb {N} ,\leq \right)$, הוא סדר מלא.
• היחס קטן על קבוצת המספרים הטבעיים הוא סדר מלא חזק (כפי שיוגדר בהמשך הערך).
• על צבעי האור בקשת הצבעים ניתן להגדיר סדר מלא, לפי אורך הגל של כל צבע. לפי יחס סדר זה, סגול קטן מכחול שקטן מאדום וכו'.

הגדרה

יחס סדר חלקי (חלש או חזק) R נקרא יחס סדר מלא (או "יחס סדר שלם") אם לכל $\ a\neq b$ מתקיים $\ aRb$ או $\ bRa$. קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת סדורה לינארית (או "סדורה בשלמות").

פעולות בין סדרים

חיבור סדרים  : יהיו $(P,\leq )$ $(Q,\leq )$ סדרים אז נגדיר $\ Q+P$ באופן הבא : $\ P+Q=P\times \left\{0\right\}\cup Q\times \left\{1\right\}$

עם הסדר :

$x,y\in P,(x,0)\leq (y,0)\iff x\leq y$

, $a,b\in Q,(a,1)\leq (b,1)\iff a\leq b$

ולכל $a\in Q,x\in P$ מתקיים $x\leq a$

כפל סדרים: יהיו $(P,\leq )$ $(Q,\leq )$ סדרים אז נגדיר $Q\times P$ עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר :

$(x_{1},x_{2})\leq (y_{1},y_{2})$ אם מתקיים :

$x_{2}\leq y_{2}$ או, $\ y_{2}=x_{2}$ וגם $x_{1}\leq y_{1}$

הערות:

• אם $(P,\leq )$ $(Q,\leq )$ סדרים טובים אז $\ P+Q$ ו $P\times Q$ הם סדרים טובים

• מכיוון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על פילוג מימין : יהיו $(M,\leq )$ $(P,\leq )$ $(Q,\leq )$ סדרים מלאים, אז מתקיים : $P\times (Q+M)=P\times Q+P\times M$

• עבור סדרים סופיים פילוג משמאל מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.

ראו גם

• סדר טוב
• פונקציה שומרת סדר
• טיפוס סדר