מספר הרשאד

מספר הרשאד (Harshad number), או מספר ניבן (Niven number) בבסיס ספירה מסוים הוא מספר שלם המתחלק בסכום ספרותיו באותו בסיס ספירה.

דוגמאות

• בבסיס ספירה כלשהו, המספרים בין 1 לבסיס הספירה (מספרים חד-ספרתיים והמספר "10" בבסיס הספירה) הם מספרי הרשאד.
• מספרי הרשאד הראשונים בעלי יותר מספרה אחת, בבסיס ספירה עשרוני, הינם:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204

מספר שמהווה מספר הרשאד בכל בסיס ספירה נקרא מספר כל-הרשאד, או מספר כל-ניבן. ישנם רק ארבעה מספרים כאלה: 1, 2, 4 ו-6.

אילו מספרים יכולים להיות מספרי הרשאד?

מבחן ההתחלקות של המספר 9 בבסיס ספירה עשרוני יכול לרמוז שכל המספרים המתחלקים ב-9 הם מספרי הרשאד בבסיס זה. אולם כדי לבדוק אם מספר הוא הרשאד, ספרות המספר מחוברות פעם אחת והמספר חייב להתחלק בסכום זה, אחרת הוא אינו הרשאד. לדוגמה: המספר 99 אמנם מתחלק ב-9, אך אינו מתחלק בסכום ספרותיו 18.

בנוסף למספרים החד-ספרתיים שהם מספרי הרשאד באופן טריוויאלי, גם מספר הבסיס הוא מספר הרשאד, כיוון שהוא נכתב "10", וכל מספר מתחלק ב-1.

מספר ראשוני הוא מספר הרשאד בדיוק בכל בסיסי הספירה השווים לו או גדולים ממנו. בכל בסיס ספירה קטן יותר, סכום ספרותיו הוא מספר גדול מ-1 וקטן מהמספר עצמו, ומעובדת היותו ראשוני נובע שאינו מתחלק בסכום.

למרות שמספרי העצרת הראשונים בבסיס 10, הם מספרי הרשאד, לא כל מספרי העצרת הם מספרי הרשאד בבסיס 10. המספר הראשון שאינו מספר הרשאד הוא !432.

מספרי הרשאד עוקבים

ה.ג. גרונדמן הוכיחה בשנת 1994 שבבסיס העשרוני אין 21 מספרי הרשאד עוקבים. כמו כן, היא מצאה את רצף 20 מספרי הרשאד העוקבים הקטנים ביותר. מספרים אלו הם מסדר גודל 10⁴⁴.

ט. קאי הראה ב-1996 שבבסיס ספירה בינארי יש אינסוף רצפים של 4 מספרי הרשאד עוקבים, ובבסיס ספירה טרנארי יש אינסוף רצפים של 6 מספרי הרשאד עוקבים. בבסיס אונרי, כל המספרים הם מספרי הרשאד.

הערכת הצפיפות של מספרי הרשאד

נציין ב $\ N(x)$ מציין את מספר מספרי הרשאד הקטנים או שווים ל-x.

ז'או-מרי דה קונינק (De Koninck) וניקולה דויון (Doyon);
הוכיחו שלכל ε > 0 מתקיים:

$x^{1-\varepsilon }<<N(x)<<{\frac {x\ln \ln x}{\ln x}}$

יתר על כן, דה קונינק, דויון וקטאי (Kátai) הוכיחו ש:

$N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\ln x}}$

כאשר $\ c=(14/27)\ln 10$ השווה בערך ל-1.1939