משפט הערך הממוצע של לגראנז'

המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף בנקודה c, מקביל לקו הכתום, המחבר את קצות גרף הפונקציה בקטע [a,b]

שלט בחוצות בייג'ינג המציג את משפט הערך הממוצע של לגרנז'

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי העוסק במשיק לפונקציה רציפה בקטע סגור. לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע (למעט אולי נקודות הקצה), אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה. משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה. ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, ייתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים. אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.

בניסוח אחר, המשפט מתייחס להשתנות של הפונקציה בין נקודות הקצה של הקטע - ומראה שתמיד קיימת נקודה שהשינוי הרגעי בה שווה לשעור ההשתנות הממוצע. לדוגמה, אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקציית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה - כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).

אף שהמשפט אינו נותן כלי מעשי למציאת הנקודה שבה מתקבל הממוצע, יש לו חשיבות תאורטית רבה והוא שימושי בהוכחתם של משפטים רבים, שכן הוא מסייע להעריך את השינוי בערכה של פונקציה באמצעות הכרת נגזרתה.

המשפט והוכחתו

משפט הערך הממוצע: תהא $\ f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ וגזירה בקטע הפתוח $\left(a,b\right)$. אז קיימת נקודה $c\in (a,b)$ שעבורה $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

הוכחה: תהא $\ k(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ נוסחת הקו הישר שעובר דרך הנקודות $\ (a,f(a))$ ו-$\ (b,f(b))$. זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל מקום, שנגזרתה קבועה, $k'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,$.

אנו מעוניינים להראות כי הנגזרת של $\ f$ שווה, בנקודה מתאימה, לשיפוע של הישר המיוצג על ידי $\ k$, כלומר ל-$\ k'$. לשם כך נשתמש במשפט רול על פונקציה חדשה, שהיא ההפרש בין $\ f$ ו-$\ k$. הסיבה לכך היא שאנו מעוניינים להוכיח שקיימת נקודה שבה שתי הנגזרות שוות זו לזו, כלומר, נגזרת ההפרש היא 0.

נגדיר את פונקציית ההפרש $\ h(x)=f(x)-k(x)$. זוהי פונקציה רציפה ב-$\ [a,b]$ (כהפרש של פונקציות רציפות), גזירה ב-$\ (a,b)$ (כהפרש של פונקציות גזירות), ומקיימת $\ h(a)=h(b)=0$ (זאת משום ש-$\ h(a)=f(a)-k(a)=0$ ובדומה גם לגבי הנקודה $\ b$). לכן, ממשפט רול נובע כי קיימת נקודה $\ c\in (a,b)$ כך ש-$\ h'(c)=0$.

אבל $\ h'(c)=f'(c)-k'(c)$, כלומר:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\Leftarrow f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftarrow f'(c)-k'(c)=0$.

גרסה אינטגרלית

למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל. המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה $\ f$ בקטע $\ [a,b]$ קיים $c\in (a,b)$ כך שמתקיים: $\ \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\ f(c)(b-a)$. המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה $\ f(c)$ על הגרף של $\ f$ כך שהשטח מתחת לגרף של $\ f$ שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע $\ [a,b]$ וגובהו כגובה הנקודה $\ f(c)$.

קיימת גרסה נוספת למשפט, כך שאם $\ f(x)$ רציפה בקטע $\ [a,b]$ ו- $\ g(x)$ פונקציה אינטגרבילית שלא משנה סימן בקטע $(a,b)$ (תמיד חיובית או תמיד שלילת) מתקיים: $\ \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\ f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ כך ש: $c\in (a,b)$

הערות

• ממשפט הערך הממוצע נובע שאם פונקציה גזירה בקטע פתוח והנגזרת שלה זהותית אפס בו, אז הפונקציה בהכרח קבועה.
• משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
• ממשפט הערך הממוצע ניתן לקבל את שארית לגראנז' של פיתוח טיילור.
• ממשפט הערך הממוצע נובע כי פונקציה גזירה בעלת נגזרת חסומה מקיימת את תנאי ליפשיץ (ולכן רציפה במידה שווה).