הבעיה השלישית של הילברט – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
Felagund-bot (שיחה | תרומות)
מ בוט - מחליף שניה בשנייה , דוגמא בדוגמה , מסויים במסוים, נורווגי בנורבגי
שורה 9: שורה 9:


<!--איור לא יזיק-->
<!--איור לא יזיק-->
דוגמא פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח [[מקבילית]]. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר זוית AHD ו[[טרפז]] ישר זוית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על-ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמא זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את [[תכונת ארכימדס]] של ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי.
דוגמה פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח [[מקבילית]]. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר זוית AHD ו[[טרפז]] ישר זוית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על-ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמה זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את [[תכונת ארכימדס]] של ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי.


הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של '''נפחים''' באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני [[פאון|פאונים]] שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של ה[[אינטגרל מסוים|אינטגרל המסויים]]. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים).
הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של '''נפחים''' באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני [[פאון|פאונים]] שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של ה[[אינטגרל מסוים|אינטגרל המסוים]]. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים).


למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת ל[[הבעיה הראשונה של הילברט|בעיה הראשונה]], [[הבעיה השניה של הילברט|השניה]], [[הבעיה הרביעית של הילברט|הרביעית]] ו[[הבעיה הששית של הילברט|הששית]], שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה.
למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת ל[[הבעיה הראשונה של הילברט|בעיה הראשונה]], [[הבעיה השנייה של הילברט|השניה]], [[הבעיה הרביעית של הילברט|הרביעית]] ו[[הבעיה הששית של הילברט|הששית]], שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה.


== פתרונה ==
== פתרונה ==
שורה 25: שורה 25:
דהן היה לאחד ממייסדי ה[[טופולוגיה אלגברית|טופולוגיה האלגברית]], ותרם תרומה משמעותית ל[[תורת הקשרים]]. הוא ניסח ב-[[1910]] את [[בעית המלה]], המגשרת בין [[תורת החבורות]] לבעיות יסודיות ב[[חישוביות]].
דהן היה לאחד ממייסדי ה[[טופולוגיה אלגברית|טופולוגיה האלגברית]], ותרם תרומה משמעותית ל[[תורת הקשרים]]. הוא ניסח ב-[[1910]] את [[בעית המלה]], המגשרת בין [[תורת החבורות]] לבעיות יסודיות ב[[חישוביות]].


דהן מונה לפרופסור מן המנין (ordinarius, בטרמינולוגיה המדעית בגרמניה דאז) באוניברסיטה של [[פרנקפורט]], בשנת [[1922]]. בשנת [[1938]] הוא ברח מאימת הנאצים לנורווגיה, ומשם, ב- [[1940]], לארצות הברית. מפאת גילו המתקדם לא הוצעה לדהן משרה באף אחת מן האוניברסיטאות המובילות. הוא לימד בתחילה באוניברסיטה של [[איידהו]], ואחר-כך בכמה מוסדות אחרים, עד שב- [[1945]] היה למתמטיקאי היחיד בקולג' של Black Mountains, שפעל ב[[צפון קרולינה]] מ-[[1933]] עד [[1956]]. דהן נפטר ב- [[1952]].
דהן מונה לפרופסור מן המנין (ordinarius, בטרמינולוגיה המדעית בגרמניה דאז) באוניברסיטה של [[פרנקפורט]], בשנת [[1922]]. בשנת [[1938]] הוא ברח מאימת הנאצים לנורבגיה, ומשם, ב- [[1940]], לארצות הברית. מפאת גילו המתקדם לא הוצעה לדהן משרה באף אחת מן האוניברסיטאות המובילות. הוא לימד בתחילה באוניברסיטה של [[איידהו]], ואחר-כך בכמה מוסדות אחרים, עד שב- [[1945]] היה למתמטיקאי היחיד בקולג' של Black Mountains, שפעל ב[[צפון קרולינה]] מ-[[1933]] עד [[1956]]. דהן נפטר ב- [[1952]].





גרסה מ־05:38, 2 בפברואר 2006

הבעיה השלישית מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס המתמטי של שנת 1900. בעיה זו עוסקת ביסודות האקסיומטיים של גאומטריית המרחב, והיא הראשונה שנפתרה מבין כל הבעיות של הילברט: את הפתרון מצא מקס דהן (Max Dehn), עוד לפני שהבעיה הוצגה בקונגרס.

הבעיה פשוטה לניסוח:

  • למצוא שני ארבעונים, בעלי אותו בסיס ואותו גובה, שלא ניתן לפרק למספר סופי של פאונים חופפים.

הבעיה

בעיקרו של דבר, מושגי השטח והנפח הם מושגים השוואתיים. אם שתי צורות מישוריות מורכבות מאותם מרכיבים (למשל, ריבוע בעל צלע 1, ריבוע בעל צלע 2 ומשולש שווה צלעות בעל צלע 2), אז הן בוודאי בעלות אותו שטח, גם אם המרכיבים מחוברים זה לזה בדרכים שונות. כבר באמצע המאה התשע-עשרה הוברר שכל שני מצולעים (פשוטים) שיש להם אותו שטח, אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים, שאותם אפשר לסדר בזוגות חופפים.

דוגמה פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח מקבילית. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר זוית AHD וטרפז ישר זוית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על-ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמה זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את תכונת ארכימדס של המספרים הממשיים: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי.

הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של נפחים באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני פאונים שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של האינטגרל המסוים. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים).

למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת לבעיה הראשונה, השניה, הרביעית והששית, שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה.

פתרונה

הבעיה השלישית של הילברט נפתרה כמעט מיד על-ידי מקס דהן (Max Dehn), יהודי, שנולד בהמבורג בשנת 1878. דהן סיים את עבודת הדוקטורט שלו באוניברסיטת גטינגן ב- 1900, וכך נחשף לנושאים שהעסיקו את הילברט הגדול מיד ראשונה.

הפתרון של דהן מבוסס על אבחנה פשוטה ורבת עוצמה, ששימשה אותו גם בעבודתו בתחומים מתמטיים אחרים: הצמדת שמורה (אינווריאנט) לכל פאון, שלא תושפע מן הפירוק למרכיבים. לכל צלע בפאון יש שני מאפיינים מספריים: אורך הצלע, והזווית בין שתי הפאות הנפגשות באותה צלע. נניח שאפשר למצוא פונקציה f של שני ערכים אלה, שתקיים את השוויונות ו- . אם נגדיר את ה'משקל' של פאון להיות הסכום של ערכי f במעבר על כל צלעות הפאון, התכונות של f יבטיחו שבכל פירוק של הפאון למספר מרכיבים, סכום המשקלים של המרכיבים יהיה שווה למשקלו של הפאון המקורי. מכאן נובע מיד ששני פאונים בעלי משקל שונה לא ניתן לפרק למרכיבים חופפים בזוגות.

דהן מצא פונקציה כזו. לשני הארבעונים שבסיסם משולש ישר זוית ושווה שוקים ABC בעל שוק AB=BC באורך 1, וגובהם 1, שבאחד מהם הקודקוד שמעל לבסיס מונח מעל ל- A ובשני מעל ל- B, יש משקלים שונים, ולכן לא ניתן לפרק אותם למרכיבים חופפים בזוגות - בדיוק כפי שביקש הילברט.

דהן היה לאחד ממייסדי הטופולוגיה האלגברית, ותרם תרומה משמעותית לתורת הקשרים. הוא ניסח ב-1910 את בעית המלה, המגשרת בין תורת החבורות לבעיות יסודיות בחישוביות.

דהן מונה לפרופסור מן המנין (ordinarius, בטרמינולוגיה המדעית בגרמניה דאז) באוניברסיטה של פרנקפורט, בשנת 1922. בשנת 1938 הוא ברח מאימת הנאצים לנורבגיה, ומשם, ב- 1940, לארצות הברית. מפאת גילו המתקדם לא הוצעה לדהן משרה באף אחת מן האוניברסיטאות המובילות. הוא לימד בתחילה באוניברסיטה של איידהו, ואחר-כך בכמה מוסדות אחרים, עד שב- 1945 היה למתמטיקאי היחיד בקולג' של Black Mountains, שפעל בצפון קרולינה מ-1933 עד 1956. דהן נפטר ב- 1952.