לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "הבעיה השלישית של הילברט"

מ
בוט - מחליף שניה בשנייה , דוגמא בדוגמה , מסויים במסוים, נורווגי בנורבגי
מ
מ (בוט - מחליף שניה בשנייה , דוגמא בדוגמה , מסויים במסוים, נורווגי בנורבגי)
 
<!--איור לא יזיק-->
דוגמאדוגמה פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח [[מקבילית]]. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר זוית AHD ו[[טרפז]] ישר זוית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על-ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמאדוגמה זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את [[תכונת ארכימדס]] של ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי.
 
הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של '''נפחים''' באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני [[פאון|פאונים]] שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של ה[[אינטגרל מסוים|אינטגרל המסוייםהמסוים]]. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים).
 
למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת ל[[הבעיה הראשונה של הילברט|בעיה הראשונה]], [[הבעיה השניההשנייה של הילברט|השניה]], [[הבעיה הרביעית של הילברט|הרביעית]] ו[[הבעיה הששית של הילברט|הששית]], שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה.
 
== פתרונה ==
דהן היה לאחד ממייסדי ה[[טופולוגיה אלגברית|טופולוגיה האלגברית]], ותרם תרומה משמעותית ל[[תורת הקשרים]]. הוא ניסח ב-[[1910]] את [[בעית המלה]], המגשרת בין [[תורת החבורות]] לבעיות יסודיות ב[[חישוביות]].
 
דהן מונה לפרופסור מן המנין (ordinarius, בטרמינולוגיה המדעית בגרמניה דאז) באוניברסיטה של [[פרנקפורט]], בשנת [[1922]]. בשנת [[1938]] הוא ברח מאימת הנאצים לנורווגיהלנורבגיה, ומשם, ב- [[1940]], לארצות הברית. מפאת גילו המתקדם לא הוצעה לדהן משרה באף אחת מן האוניברסיטאות המובילות. הוא לימד בתחילה באוניברסיטה של [[איידהו]], ואחר-כך בכמה מוסדות אחרים, עד שב- [[1945]] היה למתמטיקאי היחיד בקולג' של Black Mountains, שפעל ב[[צפון קרולינה]] מ-[[1933]] עד [[1956]]. דהן נפטר ב- [[1952]].
 
 
68,018

עריכות