מעגל תשע הנקודות

מעגל תשע הנקודות. תשע הנקודות מסומנות בכחול, הגבהים בירוק והמעגל באדום

בגאומטריה, מעגל תשע הנקודות (נקרא גם "מעגל אוילר" או "מעגל פיירבך") הוא מעגל העובר במשולש כלשהו דרך תשע הנקודות הבאות:

• אמצעי הצלעות
• עקבי הגבהים, כלומר הנקודות שבהן הגבהים נפגשים עם הצלעות
• אמצעי הקטעים המחברים בין קודקודי המשולש לנקודת מפגש הגבהים.

בשנת 1765 גילה לאונרד אוילר שתשע הנקודות הללו נמצאות על מעגל אחד. ב-1822 גילה קרל וילהלם פיירבך, שניתן להעביר מעגל דרך אמצעי הצלעות ועקבי הגבהים. זמן קצר לאחר מכן גילה אולרי טרקם שהמעגל עובר גם דרך אמצעי הקטעים שבין הקודקודים למפגש הגבהים, והוכיח את קיומו של המעגל.

בחלק מהמשולשים מצטמצם מספר הנקודות, עקב התלכדותן של שתי נקודות לאחת: במשולש שווה שוקיים ישנן שמונה נקודות (משום שבאחת הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש שווה צלעות - שש (משום שבכל הצלעות עקב הגובה מתלכד עם אמצע הצלע), במשולש ישר זווית - חמש ובמשולש ישר זווית ושווה שוקיים ("משולש כסף") - ארבע.

במשולש שווה צלעות, מעגל תשע הנקודות מתלכד עם המעגל החסום במשולש.

תכונות

• המרכז של מעגל תשע הנקודות נמצא על ישר אוילר (ישר העובר דרך מפגש התיכונים, מפגש הגבהים ומרכז המעגל החוסם את המשולש).
• אורכו של רדיוס מעגל אוילר שווה לחצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.

ארבעת המעגלים המשיקים

• המעגל משיק מבפנים למעגל החסום במשולש, ולשלושת המעגלים המשיקים למשולש מבחוץ, כלומר לאחת מצלעותיו ולהמשכן של שתי הצלעות האחרות (תכונה זאת מודגמת בתמונה).