לדלג לתוכן

פונקציית צפיפות – הבדלי גרסאות

 
== פונקציית צפיפות ==
=== משתנה מקרי (אקראי) רציף ===
 
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, והאינטגרל שלה <math>\ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על ידי הנוסחה <math>\ P(a<X<b) = P(a\le X\le b) = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math>. ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability,הסתברות) של המשתנה האקראי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקצית הצפיפות בין a ל-b". מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה אקראי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס <math>\ P(a<X<a) = P(a\le X\le a) = \int\limits_a^a f(x)\mathrm dx = 0</math>.<br />
 
מאידך, משתנה מקרי X ש[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] שלו <math>\ F(x) = P(X<x) = P(X\le x)</math> גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה <math>\ f(x)\mathrm dx</math> בתור ההסתברות לכך ש-<math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטסימל|אינפיניטסימלי]] <math>\ [x,x+\mathrm dx]</math>.
 
=== משתנה מקרי (אקראי) בדיד ===
 
לא לכל [[התפלגות]] יש פונקציית צפיפות: ההסתברות המצטברת של [[משתנה מקרי בדיד]] אינה גזירה; למשתנה בדיד יש, כביכול, צפיפות אינסופית בנקודות שבהן ההסתברות שלו חיובית.
142

עריכות