לדלג לתוכן

פונקציית צפיפות – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
מ (תקלדה)
מאין תקציר עריכה
== פונקציית צפיפות ==
=== משתנה מקרי (אקראי) רציף ===
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, כלומר גדולה מאפס או שווה לו בכל [[נקודה]], והאינטגרל <math>\ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על ידי הנוסחה <math>\ P(a<X<b) = P(a\le X\le b) = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math>. ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability,הסתברות) של המשתנה האקראי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקצית הצפיפות בין a ל-b". מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה אקראי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס <math>\ P(a<X<=a) = P(a\le X\le a) = \int\limits_a^a f(x)\mathrm dx = 0</math>.<br />
 
מאידך, משתנה מקרי <math>\ X</math> ש[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] שלו <math>\ FF_X(x) = P(X<x) = P(X\le x)</math> גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה <math>\ f(x)\mathrm dx</math> בתור ההסתברות לכך ש-<math>\ X</math> ייפול בקטע [[אינפיניטסימל|אינפיניטסימלי]] <math>\ [x,x+\mathrm dx]</math>.
 
=== משתנה מקרי (אקראי) בדיד ===
:<math>,f(x) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(x-t_i)</math>
:<math>.\sum_{i=1}^np_i=1</math>
לדוגמא, משתנה מקרי בדיד ו[[בינארי]], המקבל ערכים (1+) ו-(1-)<math>\pm1</math> בהסתברות שווה של ½, יתואר ע"י פונקציית הצפיפות:
:<math>.f(x) = \frac{1}{2}\delta(x+1)+\frac{1}{2}\delta(x-1))</math>
 
=== פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום ===
== שימושים בפונקציית הצפיפות ==
 
אם נתון משתנה מקרי <math>\ X</math> בעל פונקציית צפיפות <math>\ f(x)</math>, אז ניתן לחשב את ה[[תוחלת]] שלו (אם קיימת) כ-<math>\operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm dx</math>. ניתן להכליל משפט זה: ה[[מומנט (הסתברות)|מומנט]] ה-<math>\ i</math> של <math>\ X</math> הוא <math>\operatorname{E}(X^i)=\int\limits_{-\infty}^\infty x^i\,f(x)\,\mathrm dx</math>
 
== דוגמאות ==