לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "קטע (מתמטיקה)"

נוספו 3,020 בתים ,  לפני 9 שנים
מ
שוחזר מעריכות של 79.177.70.107 (שיחה) לעריכה האחרונה של שדדשכ
תגית: חשד למילים בעייתיות
מ (שוחזר מעריכות של 79.177.70.107 (שיחה) לעריכה האחרונה של שדדשכ)
ב[[מתמטיקה]] גבוהה, ההגדרה הפורמלית (הגדרה מוכללת) של קטע היא: '''קטע''' הוא [[תת קבוצה]] <math>\,S</math> של קבוצה עם [[סדר מלא|יחס סדר מלא]] <math>\,T</math>, המקיימת שלכל <math>x,y\in S</math> ו-<math>z\in T</math>, אם <math>\,x<z<y</math> אזי <math>z\in S</math>.
 
==קטעים ממשיים==
יואו איזה ישן זה לערוך דברים בויקיפדיה
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר <math>T=\mathbb R</math>, קבוצת המספרים הממשיים.
שהייתי בת 5 וחצי ידעתי לעשות את זה ולמי שרצה לדעת מה זה קטע אז קטע זה משהו שמתחיל ונגמר (בגאומטירה)
 
קטעים (בהגדרה המוכללת) ב-<math>\mathbb R</math> נחלקים לאחד עשר הסוגים הבאים (כש-<math>\,a</math> ו-<math>\,b</math> הם מספרים ממשיים, <math>\,a<b</math>):
# <math>(a,b) =\left\{ x | a < x < b \right\}</math> (נקרא גם "'''קטע פתוח'''", "רווח" או "אינטרוול")
# <math>[a,b] = \left\{ x | a \le x \le b \right\}</math> (נקרא "'''קטע סגור'''")
# <math>[a,b) = \left\{ x | a \le x < b \right\}</math>
# <math>(a,b] = \left\{ x | a < x \le b \right\}</math>
# <math>(a,\infty) = \left\{ x | x > a \right\}</math> (נקראת "קרן פתוחה")
# <math>[a,\infty) = \left\{ x | x \ge a \right\}</math> (נקראת "קרן סגורה")
# <math>(-\infty,b) = \left\{ x | x < b \right\}</math> (נקראת "קרן פתוחה")
# <math>(-\infty,b] = \left\{ x | x \le b \right\}</math> (נקראת "קרן סגורה")
# <math>\left(-\infty,\infty\right) = \mathbb R</math>, [[הישר הממשי]] כולו
# <math>\left\{a\right\}</math>
# <math>\emptyset</math>, הקבוצה הריקה
 
<math>\,a</math> ו-<math>\,b</math>, היכן שהן מופיעות לעיל, נקראות '''נקודות קצה''' או פשוט '''קצות הקטע'''. סוגר מרובע מציין שנקודת הקצה שייכת לקטע, וסוגר עגול מציין שלא. למידע נוסף על הסימונים האלה, ראו [[תורת הקבוצות הנאיבית]].
 
קטעים מהסוגים 1, 5, 7, 9 ו-11 לעיל נקראים '''קטעים פתוחים''' (מכיוון שהם [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]) והקטעים 2, 6, 8, 10 ו-11 נקראים '''קטעים סגורים''' (מכיוון שהם [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]).
 
הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים '''קטעים חסומים''' והיתר הם '''קטעים לא חסומים'''. קטע 10 נקרא גם '''יחידון''' או '''סינגלטון'''.
 
ה'''אורך''' של כל אחד מהקטעים החסומים 1, 2, 3 ו-4 הוא <math>\ l(I) = b-a</math>.
 
לקטעים תפקיד חשוב בתורת ה[[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]], מכיוון שהם הקבוצות הפשוטות ביותר שניתן להגדיר להן בקלות "גודל" או "[[מידה (מתמטיקה)|מידה]]" או "[[אורך]]". את מושג המידה ניתן להרחיב לקבוצות מורכבות יותר, ולקבל את [[מידת בורל]] ולבסוף את [[מידת לבג]].
 
הקטעים מהווים את אוסף תת-הקבוצות ה[[קשירות (טופולוגיה)|קשירות]] של הממשיים, וכן את אוסף תת-הקבוצות ה[[קמירות|קמורות]] של הממשיים. מכך שתמונה [[רציפות|רציפה]] של קבוצה קשירה היא קשירה נובע שאם <math>f:\mathbb R \to \mathbb R</math> היא פונקציה רציפה ו-<math>\,I</math> הוא קטע, אזי התמונה <math>f\left(I\right)</math> גם היא קטע. זהו אחד הניסוחים של [[משפט ערך הביניים]].
 
==קישורים חיצוניים==
19,779

עריכות