לדלג לתוכן

הבדלים בין גרסאות בדף "הפרדת משתנים"

נוספו 1,022 בתים ,  לפני 9 שנים
הרחבה
מ (r2.7.1+) (בוט מוסיף: es:Método de separación de variables)
(הרחבה)
הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]]. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון.
לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה [[משוואת שרדינגר]], [[משוואת הגלים]], [[משוואת החום]], [[משוואת הדיפוזיה]] ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.
 
== הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית רגילה ==
 
אם נתונה [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] בצורה
: <math>\frac{df(x)}{dx} = g(x) h(f(x))</math>
אפשר לבצע הפרדת משתנים. נסמן <math>y = f(x)</math> ואז
: <math>\frac{dy}{dx} = g(x) h(y)</math>.
אם <math>h(y) \ne 0</math> אפשר לחלק בו את שני האגפים ולקבל
: <math>\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} = g(x)</math>.
כעת נבצע לשני האגפים [[אינטגרל|אינטגרציה]] לפי x ונקבל
: <math>\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} dx = \int g(x) dx</math>
ובאמצעות חילוף משתנים, אגף שמאל נהפך ל-
: <math>\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{h(y)} dy</math>.
באמצעות אינטגרציה על שני האגפים מקבלים:
: <math>\int \frac{1}{h(y)}dy + C_2 = \int g(x) dx + C_1</math>.
הערה: אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן <math>C = C_1 - C_2</math>.
 
== דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים ==