|
[[תמונה:Thomae function (0,1).svg|200px|שמאל|ממוזער|פונקציית רימן בקטע (0,1)]]
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרתשקבוצת עלנקודות מספריםאי-הרציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות רציונלייםהרציונליות לפי <math>\ f(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q}</math> (כאשר ה[[שבר מצומצם]], כלומר p,q [[מספרים זרים|זרים זה לזה]]), ומתאפסת על מספריםבנקודות שאינםשאינן רציונלייםרציונליות. (ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
הפונקציה מוכרת גם בשמות "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" ופונקציית תומה (Thomae's function).
==תכונות הפונקציה ==
פונקציה זו מוגדרת על כל [[הישר הממשי]], והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
* פונקציה זו [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שבו היא רציפה. ▼* אין קטע שהיא [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] בו.
* קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה [[קבוצה צפופה|צפופה]] על הישר, אך בעלת [[מידה אפס]].
* בכל קטע סופי הפונקציה [[אינטגרל|אינטגרבילית]] רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).
== =קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה=הפונקציה == ▼==הערות==
===שם הפונקציה===
שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
* פונקציית הסרגל
* פונקציית הפופקורן
* פונקציית תומה (Thomae's function)
▲* פונקציה זוהפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] . עלמכאן הישר,שקבוצת ומכאןנקודות ברוראי-הרציפות שאיןשל קטע שבוהפונקציה היא רציפה[[קבוצה צפופה|צפופה]], אך בעלת [[מידה אפס]].
===פונקציה המקיימת תכונות דומות===
נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה <math>\{r_n\}_{n=1}^\infty </math>, ונגדיר פונקציה <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> על ידי הנוסחה <math>g(x)=\sum_{\{n|r_n<x\}}\frac{1}{2^n}</math>. הפונקציה המתקבלת רציפה גם היא בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר. ▼
הפונקציה [[אינטגרל|אינטגרבילית]] לפי רימן (עם אינטגרל אפס) בכל קטע חסום, אך אינה רציפה ואינה [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] באף קטע.
▲===קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה===
===פונקציה נוספת עם אותן נקודות אי-רציפות===
לא קיימת פונקציה הרציפה בכל נקודה רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, משום שקבוצת נקודות הרציפות של פונקציה היא קבוצת <math>\ G_\delta</math>, ואילו קבוצת המספרים הרציונליים על הישר אינה קבוצת <math>\ G_\delta</math>.
▲נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה <math>\{r_n\}_{n=1}^\infty </math>, ונגדיר פונקציה <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> על ידי הנוסחהלפי <math>g(x)=\sum_{\{n|r_n<x\}}\frac{1}{2^n}</math>. כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה גם היא בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.
נוכיח כי הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה]] בכל נקודה [[מספר אי רציונלי|אי-רציונלית]], ואינה רציפה באף נקודה [[מספר רציונלי|רציונלית]] על הישר.
===קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה===
יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונליים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי-רציונליים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ומכאן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת <math>\ F_{\sigma}</math>. מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזו, אין פונקציה שנקודות אי-הרציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.
כעת נניח ש-<math>\,x_0</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקציית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי, קיים <math>\ \delta>0</math> כך שהמרחק מ-<math>\,x_0</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ-<math>\ \delta</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
# <math>\,x\notin\mathbb{Q}</math> ואז <math>\,f(x)=0</math>, ומכאן <math>|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>
# <math>\ x=r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\ \delta</math>, אז <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math> ו-<math>\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>, כלומר, אם <math>\,|r-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(r)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
נוכיח שנקודות אי-הרציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי x מספר רציונלי, אז <math>\ f(x) \neq 0</math>, אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-x, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן ש-x היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח ש-x אי-רציונלי, ויהי <math>\ \epsilon>0</math>. בקטע באורך יחידה סביב x יש רק מספר סופי של נקודות שבהן <math>\ f(t)\geq \epsilon</math> (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב x שבו <math>\ |f(t)-f(x)| = f(t)<\epsilon</math>.
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם <math>\,|x-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, ומכאן ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
==ראו גם==
| 
