מרחב פתרונות

באלגברה לינארית, מרחב הפתרונות, מרחב האפסים או הגרעין של מטריצה $A$ הוא אוסף כל הווקטורים שפותרים את המשוואה $Ax=0$. כלומר זהו אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית ההומוגונית המיוצגת על ידי $A$. את מרחב הפתרונות מסמנים ${\mbox{Null}}(A)$. מרחב הפתרונות הוא תת-מרחב וקטורי של המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$, כאשר n הוא מספר העמודות ב-$A$ (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות). זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון.

אם $T$ היא העתקה לינארית שמיוצגת על ידי מטריצה $A$ לפי בסיס סדור $B$ של התחום של $T$, אז ${\mbox{Null}}(A)$ הוא מרחב וקטורי הקואורדינטות של הגרעין ${\mbox{Ker}}(T)$ לפי $B$, ושני המרחבים איזומרפיים.

הממד של ${\mbox{Null}}(A)$ נקרא האפסיות של $A$ ומסומן ${\mbox{nullity}}(A)$. לכל מטריצה $A$ עם n עמודות מתקיים ${\mbox{nullity}}(A)+{\mbox{rank}}(A)=n$, כאשר ${\mbox{rank}}(A)$ הוא דרגת $A$. המשפט המקביל להעתקות הוא $\dim \operatorname {Ker} T+\dim \operatorname {Im} \,T=\dim V$, כאשר $V$ הוא התחום של $T$.

דוגמה

נבחן את המטריצה $A={\begin{bmatrix}\,\,\,2&1&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$. מערכת המשוואות המתאימה היא:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&0\\-x&&\;\;&&&&\;\;&&&&\;=\;&&0\\\end{alignedat}}$

שפתרונה $(0,t,-t)$, כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות. על כן מרחב הפתרונות הוא הישר במרחב התלת ממדי העובר דרך $(0,1,-1)$ והראשית. ${\mbox{nullity}}(A)=1$, שכן ישר הוא חד-ממדי.