הרחבת גלואה – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
רועי.ס (שיחה | תרומות)
הרחבה
שורה 1: שורה 1:
'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], משום שיש להן [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]] מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.
'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], משום שיש להן [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]] מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.

הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה אם ורק אם F הוא [[שדה שבת|שדה השבת]] החלקי ל-K של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] כל ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של K מעל F. אם נסמן חבורה זו ב-<math>G_{K/F}</math> אזי <math>F = K^{G_{K/F}}</math>.


כל [[שדה פיצול]] של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.
כל [[שדה פיצול]] של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.


כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.

אם K/F היא הרחבת גלואה אזי <math>| \mathrm{Gal}(K/F) | = \left[ K : F \right]</math>.


== דוגמאות ==
== דוגמאות ==

גרסה מ־11:58, 23 במאי 2012

הרחבת גלואה היא הרחבה נורמלית וספרבילית של שדות. הרחבות כאלו הן אבן הפינה של תורת גלואה, משום שיש להן חבורות גלואה מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. המשפט היסודי של תורת גלואה מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.

הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה אם ורק אם F הוא שדה השבת החלקי ל-K של חבורת כל האוטומורפיזמים של K מעל F. אם נסמן חבורה זו ב- אזי .

כל שדה פיצול של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.

כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת סְגור גלואה של ההרחבה המקורית.

אם K/F היא הרחבת גלואה אזי .

דוגמאות

1. כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.

2. נסמן ב- את השורש הרביעי של 2. השדה אינו הרחבת גלואה של , משום שההרחבה אינה נורמלית: הוא שורש של הפולינום , שהוא אי-פריק (לפי קריטריון אייזנשטיין) אבל השורש אינו שייך ל-K. לעומת זאת, L הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים . סגור גלואה של ההרחבה מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל-, ושווה משום כך ל- . זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא החבורה הדיהדרלית מאותו סדר.