לדלג לתוכן

פונקציית צפיפות – הבדלי גרסאות

מ
בוט החלפות: על ידי, על ידי, פונקציית, דוגמה\1
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: nn:Sannsynstettleiksfunksjon)
מ (בוט החלפות: על ידי, על ידי, פונקציית, דוגמה\1)
== פונקציית צפיפות ==
=== משתנה מקרי (אקראי) רציף ===
[[פונקציה אינטגרבילית]] ממשית f נקראת '''פונקציית צפיפות''' אם היא חיובית, כלומר גדולה מאפס או שווה לו בכל [[נקודה]], והאינטגרל <math>\ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx</math> שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של [[משתנה מקרי]], על ידי הנוסחה <math>\ P(a<X<b) = P(a\le X\le b) = \int\limits_a^b f(x)\mathrm dx</math>. ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability, הסתברות) של המשתנה האקראי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקציתפונקציית הצפיפות בין a ל-b". מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה אקראי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס <math>\ P(X=a) = P(a\le X\le a) = \int\limits_a^a f(x)\mathrm dx = 0</math>.<br />
 
=== משתנה מקרי (אקראי) בדיד ===
 
ניתן לייצג את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרה המקבל אוסף סופי של ערכים בדידים ''t''<sub>1</sub>, …, ''t<sub>n</sub>'' , על- ידי על ידי סכום של [[פונקציית_דלתא_של_דיראק|דלתאות דיראק]].
במקרה הכללי, תציין כל דלתא ערך בדיד שהמשתנה עשוי לקבל, ותוכפל ב[[הסתברות]] ''p''<sub>1</sub>, …, ''p<sub>n</sub>'' לקבל ערך זה:
 
:<math>,f(x) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(x-t_i)</math>
:<math>.\sum_{i=1}^np_i=1</math>
לדוגמאלדוגמה, משתנה מקרי בדיד ו[[בינארי]], המקבל ערכים <math>\pm1</math> בהסתברות שווה של ½, יתואר ע"יעל ידי פונקציית הצפיפות:
:<math>.f(x) = \frac{1}{2}\delta(x+1)+\frac{1}{2}\delta(x-1)</math>