משלים (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
AvocatoBot (שיחה | תרומות)
מ r2.7.1) (בוט משנה: eu:Osagarri (multzo-teoria)
EmausBot (שיחה | תרומות)
שורה 37: שורה 37:
[[en:Complement (set theory)]]
[[en:Complement (set theory)]]
[[am:የውጭ ስብስብ]]
[[am:የውጭ ስብስብ]]
[[ar:مجموعة مكملة]]
[[ar:مجموعة مكملة (نظرية المجموعات)]]
[[be:Дапаўненне мностваў]]
[[be:Дапаўненне мностваў]]
[[bg:Разлика (теория на множествата)]]
[[bg:Разлика (теория на множествата)]]

גרסה מ־01:45, 26 באוקטובר 2012

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית

דיאגרמת ון של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא קבוצה, ותהא קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ב יוגדר כך: . סימונים מקובלים נוסף למשלים הם . עם זאת, הסימון מתנגש לעתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה

תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים השלמים והחיוביים.
תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הזוגיים החיוביים (2,4,6...)
הקבוצה B תהיה המשלים של A ביחס ל-N אם היא תכיל רק מספרים המוכלים ב-N אך לא ב-A, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים (1,3,5...)

ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.

תכונות בסיסיות

, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הינו הקבוצה עצמה.

, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הינו הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך: