השיטה העשרונית

השיטה העשרונית (נקראת גם בסיס דצימלי) היא שיטה להצגת מספרים (שלמים או ממשיים), לפי בסיס 10, כך שביטוי כדוגמת $\ 61.3$ מתפרש כסכום $\ 6\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}+3\cdot {\frac {1}{10}}$. בשיטה זו, שהחליפה את הכתיבה בספרות רומיות, משתמשים בחיי היום-יום, והיא מקובלת כיום בכל העולם.

היסטוריה

השיטה פותחה במקור בהודו במאה ה-6. הערבים הביאו אותה למערב במאה ה-8 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את הספרות ההודיות והמליצה לקוראים, אך הטמעתה התעכבה בכמאתיים שנה, בין השאר עקב הרצון למנוע זיופי מסמכים בספרות 0, 6, 9, 3, 8. היא זו שמשמשת אותנו גם בחיי היום-יום. ספירה זו טבעית כל כך, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות.

ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן. כבר בתנ"ך הספירה היא כזו (לדוגמה: "שבע ועשרים ומאה"), וכך גם בספרות הרומיות. החידוש שהביא אל ח'ואריזמי הוא שימוש בבסיס לשיטת הספירה, כלומר רישום המספרים כך שיש משמעות למיקום של הספרה במספר. שיטה מעין פוזיציונלית דומה הייתה נהוגה בבבל, על פי בסיס 60, עם ספרות אחרות וללא סימן ל-0.

הצגה עשרונית של מספרים

הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ- 9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל- 9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, $\ 23=2\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}=2\cdot 10+3\cdot 1$. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.

מספרים עשרוניים נדרשים להצגת מספרים לא שלמים, אין די בחזקות החיוביות של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, $\ 10^{-1}={\tfrac {1}{10}}$, $\ 10^{-2}={\tfrac {1}{10^{2}}}$), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו $\ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot {\tfrac {1}{10}}$. את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.

בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנה $\ {\frac {a}{10^{n}}}$ בין מספר טבעי a לבין חזקה של 10. מספרים רבים, וביניהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). בדיוק כפי שרצף ספרות סופי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ מובן כסכום $\ {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}$, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי $\ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}\dots$ כסכום אינסופי, $\ {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+\dots$.

מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן הארכימדיות של שדה המספרים הממשיים. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם המספרים הרציונליים שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש גם פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה רצף אינסופי של תשיעיות.

בחיי המעשה לא ניתן לטפל בביטויים אינסופיים, ולכן מסתפקים בקירוב המתקבל מן הספרות הראשונות של המספר העשרוני. במחשבון כיס שרמת הדיוק שלו מגיעה לשמונה ספרות עשרוניות, יופיע הביטוי 0.33333333 במקום 1/3 (שייצוגו המלא דורש אינסוף ספרות חוזרות).

חישוב בשיטה העשרונית

פעולות החשבון חיבור וחיסור במספרים עשרוניים נעשות בדיוק כמו במספרים השלמים, אלא שכאן מבדילים בנקודה בין השלמים לחלקים העשרוניים. בפתרון במאונך יש להקפיד שהנקודה העשרונית של שני המספרים תהייה באותו המקום, לצורך כל ניתן להוסיף אפסים למספר בו ישנן פחות ספרות אחרי הנקודה. לדוגמה: את התרגיל 12.36 + 45.098, ניתן לרשום גם 12.360 + 45.098 על מנת למנוע טעויות בזמן החישוב.

המצב שונה מעט עבור פעולות הכפל והחילוק. בכפל, כאשר אחד המספרים הוא עשרוני והשני שלם, אפשר להכפיל אותם כשלמים ולהוסיף במכפלה בנקודה עשרונית כמספר הספרות העשרוניים בנכפל או בכופל. בחילוק, כאשר אחד המספרים הוא עשרוני והשני שלם, ניתן לחלק כמספרים שלמים ובמנה, להוסיף נקודה עשרונית כמספר הספרות העשרונייות במחולק.

טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

עשרוני:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
הקסדצימלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
אוקטלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
בינארי:	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000

ראו גם

• בסיס בינארי
• בסיס אוקטלי
• בסיס הקסדצימלי

קישורים חיצוניים

• יורם שורק, חיים בעשר, במדור "דברים שיורמים יודעים", באתר ארכיון האינטרנט (במקור, מאתר "nana10‏")
• המחשה אינטראקטיבית של ספירה בבסיס עשרוני, בינארי והקסדצימלי מתוך אתר לילדים המלמד מושגים במדעי המחשב