מעגל חסום

בגאומטריה של המישור, מעגל חסום במצולע הוא מעגל המשיק לכל הצלעות של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חסום: כל המשולשים וכל המצולעים המשוכללים. מלבן (שאינו ריבוע) הוא דוגמה למצולע שאין לו מעגל חסום.

המעגל החסום במשולש

מעגל חסום במשולש

במשולש, מרכז המעגל החסום הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת חוצי הזוויות של המשולש. הסיבה לכך היא שחוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן משתי הצלעות שווים זה לזה, ומרחקו של מרכז המעגל החסום משלוש הצלעות, הוא קבוע.

מרכז המעגל החסום נמצא תמיד בתוך המשולש (להבדיל ממרכז המעגל החוסם שנמצא בתוך המשולש, על אחת הצלעות או מחוץ למשולש, בהתאם לסוג המשולש).

לפי נוסחת הרון, במשולש שאורך צלעותיו a, ‏b, ‏c שטח המשולש הוא:

${\begin{aligned}A&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(b-c+a)(c-a+b)}}\\&{}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

כאשר s = (a + b + c)/2 הוא מחצית היקף המשולש.

רדיוס המעגל החסום הוא:

${\frac {2A}{a+b+c}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.$

משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: $d^{2}=R\cdot (R-2r)$, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי: $R\geq 2r$ .

מעגל חסום במצולע משוכלל

מעגל חסום ומעגל חוסם במשובע משוכלל

במצולע משוכלל, מרכז המעגל החסום מתלכד עם מרכז המעגל החוסם.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל

t - אורך הצלע במצולע המשוכלל

R - רדיוס המעגל החוסם

r - רדיוס המעגל החסום.

מתקיים:

$\ t=2r\tan {\frac {\pi }{n}}=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$

$\ r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{n}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}$

$\ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}=r\sec {\frac {\pi }{n}}$

ראו גם

• מעגל חוסם