לדלג לתוכן

תפריט ניווט

הבדלים בין גרסאות בדף "מערכת משוואות ליניאריות"

כמקובל
(כמקובל)
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים יכולה להיכתב בצורה הבאה:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{1_111} x_1 &&\; + \;&& a_{1_212} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1_n1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{2_121} x_1 &&\; + \;&& a_{2_222} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2_n2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m_1m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m_2m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{m_nmn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
כאשר <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> הם הנעלמים, <math>a_{1_1},\ a_{1_2},...,\ a_{m_n}</math> הם המקדמים של המשתנים ו-<math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> הם המקדמים החופשיים.
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ית, כ[[צירוף לינארי]] של [[וקטור עמודה|וקטורי עמודה]]:
:<math>
x_1 \begin{bmatrix}a_{1_111}\\a_{2_121}\\ \vdots \\a_{m_1m1}\end{bmatrix} +
x_2 \begin{bmatrix}a_{1_212}\\a_{2_222}\\ \vdots \\a_{m_2m2}\end{bmatrix} +
\cdots +
x_n \begin{bmatrix}a_{1_n1n}\\a_{2_n2n}\\ \vdots \\a_{m_nmn}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
A=
\begin{bmatrix}
a_{1_111} & a_{1_212} & \cdots & a_{1_n1n} \\
a_{2_121} & a_{2_222} & \cdots & a_{2_n2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m_1m1} & a_{m_2m2} & \cdots & a_{m_nmn}
\end{bmatrix},\quad
\bold{x}=
מערכת משוואות נקראת '''הומוגנית''' אם כל המקדמים החופשיים שווים ל[[אפס (מספר)|אפס]]:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{1_111} x_1 &&\; + \;&& a_{1_212} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
a_{2_121} x_1 &&\; + \;&& a_{2_222} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \,\vdots \\
a_{m_1m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m_2m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0. \\
\end{alignat}</math>
מערכת כזאת ניתנת לייצוג באמצעות המשוואה <math>A\textbf{x}=\textbf{0}</math>, כאשר A הוא מטריצה, x הוא וקטור עמודה של המשתנים, ו0 מסמל את [[וקטור האפס]].