דעיכה מעריכית

ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.

קצב השינוי של ערך הדועך מעריכית עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,

${\frac {d}{dt}}A(t)=-\lambda A(t)$

עבור הערך $A(t)$ תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי $\lambda$. פתרון משוואה זו על ידי הפרדת משתנים נותן

$A(t)=A(0)e^{-\lambda t}$.

דעיכת אוכלוסייה

כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמא מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה בהתפלגות פואסונית), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי

$P(t)=\lambda e^{-\lambda t}$

זמן אופייני

זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי

$\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot P(t)dt=\int _{0}^{\infty }t\cdot \lambda e^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}\equiv \tau$,

כאן נעשה שימוש באינטגרציה בחלקים, זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב$\tau$. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך

$A(t)=A(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}$.

לאחר הזמן האופייני הערך יורד ל$e^{-1}$ מערכו ההתחלתי.

כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של $\tau$, במישור התדר מתקבל לורנציין עם רוחב של ${\frac {1}{\tau }}$.

זמן מחצית חיים

לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי

$t_{0.5}={\frac {ln2}{\lambda }}=\tau \ln 2$.