מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות H ו-K חבורה חדשה $G=H\rtimes K$.

הגדרה

יהיו H ו-K חבורות. נניח ש-K פועלת על H באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם $\rho :K\to \mathrm {Aut} (H)$ המתאים לכל איבר ב-K אוטומורפיזם על H. לשם קיצור נסמן $(\rho (k))(h)={}^{k}h$.

נגדיר פעולה על הקבוצה $G=H\times K=\left\{(h,k)\ |\ h\in H,k\in K\right\}$ באופן הבא:

$(h_{1},k_{1})\cdot (h_{2},k_{2}):=(h_{1}\cdot {}^{k_{1}}h_{2},k_{1}k_{2})$.

זו חבורה מסדר $|G|=|H|\cdot |K|$ (שכן יש יחידה $1_{G}=(1_{H},1_{K})$ וכל איבר הפיך $(h,k)^{-1}=({}^{k^{-1}}h^{-1},k^{-1})$) שנסמנה $G=H\rtimes K$.

תכונות

• אם מזהים $H\cong \{(h,1)|h\in H\}$ ו-$K\cong \{(1,k)|k\in K$ אזי $H\cap K=1$ ו-H תת-חבורה נורמלית של G.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.