לדלג לתוכן

תפריט ניווט

הבדלים בין גרסאות בדף "מערכת משוואות ליניאריות"

אין תקציר עריכה
[[תמונה:Secretsharing-3-point.png|שמאל|ממוזער|250px|המחשה [[גאומטריה|גאומטרית]] של שלוש משוואות, כל אחת מיוצגתהמיוצגות על-ידי ידישלושה [[מישור (גאומטריה)|מישורמישורים]]. פתרון המערכת הוא ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודת]נקודה] החיתוךהמשותפת שלהםלכולם]]
ב[[מתמטיקה]], '''מערכת משוואות לינאריות''' היא אוסף של [[משוואה לינארית|משוואות לינאריות]] עם אותםבאותם [[משתנה|משתנים]]. '''פתרון''' של המערכת הוא ערכים עבור המשתנים, שהצבתם בכל אחת מהמשוואות תיתן פסוק אמת.
במסגרת ה[[אלגברה לינארית|אלגברה הלינארית]] פותחה תאוריה מלאה של מערכות מסוג זה, ויש אלגוריתמים מהירים ויעילים לפתרון שלהן.
 
לדוגמה, מערכת של שלוש משוואות עם שלושה נעלמים:
:<math>\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}</math>
 
הפתרון של המערכת לעיל הוא:
:<math>\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
y & = & -2 \\
z & = & -2
\end{alignat}</math>
חקירת מערכת משוואות לינאריות היא חלק מהתחום של [[אלגברה לינארית]].
 
==מבנה כללי==
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים <math>x_1,\dots,x_n</math> יכולה להיכתב בצורה הבאה:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
כאשר <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> הם הנעלמים, <math>a_{1_1},\ a_{1_2},...,\ a_{m_n}</math> הם המקדמים של המשתנים ו-<math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> הם '''המקדמים החופשיים.''' במשוואות.
 
בדרך כלל המקדמים והמשתנים יהיושייכים מל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (למשל שדה ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] או, ה[[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]], אולם ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגברים]] מסוימים הם עשויים להיות רק משדהאו ה[[שדה המספרים הרציונליים|רציונליים]]), או מל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כדוגמת חוג ה[[חוג המספרים השלמים|שלמים]].
 
===הצגה באמצעות וקטורים===
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים הלינארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא ה[[קבוצה פורשת|קבוצה הפורשת]] שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. אםבמקרה לכלכזה, וקטורהפתרון בתוךהוא הקבוצהמקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה ל[[משפט רושה קפלי]], הקובע שלמערכת יש בדיוקפתרון אפשרותאם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הוקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור אחת להביע אותו כצירוף לינארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של וקטורים שאינם [[תלות לינארית|תלויים לינארית]] שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
 
===הצגה באמצעות מטריצות===