מחומש

מחומש משוכלל

מחומש (פנטגון) הוא מצולע קמור בעל חמש צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות של מחומש הוא 540 מעלות וסכום זוויות הנוצרות עם צלעות המחומש ומחוץ לו הוא 1260 מעלות.

מחומש משוכלל

מחומש משוכלל הוא מחומש שכל צלעותיו שוות זו לזו. כמו כן, גודל של כל אחת מהזוויות הפנימיות בקודקוד של מחומש משוכלל הוא 108°. מספר זה אינו מחלק את 360, ולכן לא ניתן לרצף את המישור במחומשים משוכללים. הגודל של כל זווית הנוצרת עם צלעות של מחומש המשוכלל ומחוץ לו היא 252°.

שטח מחומש משוכלל שאורך צלעו a מחושב על פי הנוסחה: $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$

פנטגרם בתוך מחומש

אלכסוני המחומש המשוכלל יוצרים פנטגרם.

האלכסונים מקבילים בהתאמה לצלעות המחומש.

בנייה בסרגל ומחוגה

תהליך בנייה

ניתן לבנות מחומש משוכלל על ידי שימוש במחוגה ובסרגל בלבד, על ידי חסימתו במעגל. דרך זו תוארה על ידי אוקלידס בספרו יסודות (ספר רביעי, טענה 11) כשלוש מאות שנה לפני הספירה. הבניה מבוססת על כך ש- $\ \cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$ ו- $\ \sin \left({\frac {2\pi }{5}}\right)={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$.

אחת הדרכים לכך היא:

1. מסרטטים מעגל, מרכזו יהיה O (המעגל הירוק שבסרטוט משמאל). נניח שרדיוסו של מעגל זה - יחידה אחת.
2. בוחרים על ההיקף נקודה, A, שתהווה אחד מקודקודי המחומש. מעבירים ישר מ-A דרך המרכז, O.
3. בונים אנך לקוטר AO, מסמנים את אחד החיתוכים שלו עם המעגל כ-B.
4. מסמנים את הנקודה C במרכז הקטע OB. (המרחק $\ |AC|={\sqrt {5}}/2$).
5. מעבירים מעגל שמרכזו הנקודה C דרך הנקודה A, מסמנים את נקודת החיתוך בין המעגל לקו OB כ-D. (המרחק $\ |AD|={\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}/2$, וזהו אורך צלע המחומש החסום במעגל המקורי).
6. מעבירים מעגל שמרכזו A דרך הנקודה D; מסמנים את חיתוכיו עם המעגל המקורי (הירוק) באותיות E ו-F.
7. מעבירים מעגלים שמרכזם E ו-F דרך הנקודה A, מסמנים את חיתוכיהם עם המעגל המקורי כ-G ו-H בהתאמה.
8. הנקודות AEFGH מהוות את קודקודי המחומש המשוכלל.

דרך אחרת מתוארת באנימציה שמשמאל.